Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
47. Решить предыдущую задачу, считая постоянную а отрицательной и удовлетворяющей условию / А / .> „ где -
скорость света в вакууме. Рассмотреть предельный случай
,а і • ¦
тс*
48. Напряженность H постоянного однородного магнит®» ного поля перпендикулярна напряженности электрического E^ifct, где GL— ПОСТОЯННЫЙ вектор. Определить закон движения час гиды с массой т. и положительным зарядом є в этих скрещенных полях, если в момент времени t - О она покоилась з начале декартовой системы координат с осями X и Z , направленными вдоль векторов ? и H соответственно. Влиянием переменного во времени электрического поля на магнитное пренебречь.
49. Напряженности С и H электрического и магнитного полей взаимно ортогональны, а сами поля однородны. С момента времени t ~ О напряженность электрического поля убывает по закону E0 Є at, а магнитное поле остается приблизительно постоянным. Определить закон движения протона с массой т и зарядом е , если в момент времени t — О он покоился в начале декартовой системы координат с осями X и
Y} параллельными векторам ? и /Т .
§ 5. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
50. Определить наименьшее и наибольшее расстояние до начала координат в случае движения материальной точки массы
15 /ft в сферически-симметричном потенциальном поле:
a) V = ~fh; б) *>0,S>0;
в) и=*+^^ а>0. г) и - + -4 7
51. Частица массы /те движется в сферически-симметричном потенциальном поле притяжения U= U(г) . В начальный момент времени Q она покоилась на расстоянии R от центра поля. Определить время tn падения частицы в центр поля, если:
a) U- - -рг у б) в) U=-^ -
52. Определить закон падения г=ґ(і) частицы массы т в центр сферически-симметричного потенциального гюля
притяжения U(г). В начальный момент времени t - G частица имела энергию ? и покоилась. Найти также время tn падения, если:
а) bw^iA-' б) ulf-'-uocY^,
а-
в) vir) = - ; г) и(г} = ~ио cth*? ¦
5^ а
53. Частица с массой т , энергией S и моментом M движется в сферически-симметричном потенциальном поле притяжения U= CLh2 . Определить закон изменения радиальной координаты /~= f(t) частицы, если в начальный момент времени t = С она лаходилась в экстремальной точке траектории.
54. Найти период T радиальных колебаний материальной точки массы кп, , движущейся с энергией 6 и моментом
M в сферически-симметричном потенциальном поле (а. >0, ё>0 ):
a) + б) V =
55. При каких абсолютных значениях момента M радиальное движение материальной точки массы гп периодично в сферически-симметричном потенциальном поле
и=-и0е % ио>о?
16 56. При каких абсолютных значениях момента /у возможно финитное движение частицы массы т. в сферически-симметричном потенциальном поле: ^
a) if=- Yfpr-* б) и=-иогп(і+ ~2)ио>0?
57. Частица массы т. движется в сферически-симмет— ричном^^потенциальном поле U=U(h) > имея энергию ?> и момент M . Определить скорость TSr в экстремальной точке траектории с радиус-вектором f0 , выразив ее через заданные величины.
58. Материальная точка со скоростью 7Г и моментом M движется в кулоновском поле U~ ??r „ Доказать, что:
а) уравнение траектории в полярных координатах можно получить скалярным умножением сохраняющегося вектора J = = M + oC-jr на радиус-вектор материальной точки;
б) вектор X= 7Ґ*M-i-oC -jr направлен по большой полуоси эллипса при эллиптическом движении материальной точки и по оси симметрии траектории в случае движения по гиперболе или параболе.
59. В полярных координатах найти траекторию материальной точки массы т , движущейся в сферически— симметричном потенциальном поле (&> О , ?>0
а) V=Sr*, б) U=-?f
в> г) U=f-s + gf-2.
60. Найти уравнение траектории частицы массы т , которая движется в сферически-симметричном потенциальном поле притяжения U=—• Энергия частицы равна нулю, а ее момент M произволен.
61. Найти уравнение траектории частицы массы tn ,движущейся с энергией 6 и моментом M в сферически-сим-метричном потенциальном поле
а
V^-J^+U Є ,
а*
если заданные параметры удовлетворяют соотношениям:
M2= 2 та ; о <с S^U0) ё>0.
2S01
VJ ?.f f г г (Л JLJ.,-
17 62. В начальный момент времени частица находилась в
экстремальной точке траектории. Определить число оборотов к. ,
которые совершит частица около силового центра при удалении
от него на бесконечно большое расстояние. Параметры задан«
ного потенциального поля V- - связаны с энергией S . мо-
-і» - р * ментом M_ и массой т. частидь; соотношениями /V - їґтсСі к
0< ^S <
63. Материальная точка массы <•?•? движется по конической поверхности с углом Z в0 при вершине. Потенциальное поле убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от
вершины U= -pz , где сь >0 . Найти уравнение траектории.
64. Определить эксцентриситет ?,, а также большую а
и малую / полуоси эллиптической траектории частицы массы т , которая движется с энергией S и моментом M в потенциальном поле притяжения If = -гг Г ^ .
65. Материальная точка массы т движется в сферически—симметричном потенциальном иоле U (г) , совершая радиальные колебания между точками /^yz и -f^naac • Определить угол a W поворота оси симметрии траектории за период радиальных колебаний, если:
