- .
( ):
Амплитуда определяется по теории возмущений и сразу может быть выписана (мы пренебрегаем формфактором в пионной вершине):
= Ge Рай| Yu p + k_m Yv +
+ Vv VmI^vMI-Ys)- (9-1)
Выпишем также дивергенцию амплитуды
№1$ = Ое2РайYv Vе О - Ys). (9.2)
Адронная часть амплитуды SWjfv пропорциональна величине
Г+ —lj d\eik-x <я°1Т 0; (х) /+ (0)) | я"), (9.3)
где /ц — полный слабый (V ~ Л)-ток и ’)
kXa = (n\iU(»\n~) = PaV2. (9.4)
Приведем общий вид величины Г+а, следующий из соотношения (9.4), релятивистской ковариантности и сохранения изовекторного тока (см. § 4): .
Гца = [к2РцР<1 ~{-Р) (РА + РЛ) +
.+<* • РУ Ы ф. (k2> k-P) + (feA ~ ёть2) Ф2 (k2, k-P) +
+г^уР^Ф, {k\ k-P)- 2 V^2------~k2J2\.p ’ F2 (k2) +
+ У2(P^+P^-g»aP-k)[—F^]±~gmP(k2). (9.5)
’) См. примечание на стр. 374; функцией распространения пиона является 2{<j2 — Ц2)-1, иногда мы полагаем р. = 1,
396
Дж. Бьёркен
Нас интересует член О (l/k) в Г+„. Подобно выражению
(4.6), он определяется одновременными коммутационными соотношениями. Предполагая справедливость дисперсионных соотношений без вычитаний для величин Ф* и F{k2) и переходя от них к соотношениям, подобным (6.13), получим, что для согласованности с алгеброй токов U (6) ® U (6) при k0-*i оо необходимо, как и в § 4, выполнение следующих соотношений:
Ф,(£2,0)-0(Jr), Ф2(k2, О)-О(^),
Тогда все члены Г^а будут давать конечный вклад в радиационную поправку SWjfv, за исключением члена
V2 *—Г,.„ (9.7)
который следует из алгебры токов U (6) ® U (6). Итак, для амплитуды зя<?> можно взять следующее приближенное выражение:
т$ ~-ое2[Рак»+P»ka~ {— ] йУу X
Его дивергенция имеет вид
= - Ge2Pauyv pJk_m Y„(l-Ys) +
+ Ge21-foftv + fvfca-gva (* ■./»). j ( J _ ^ (99)
Рассмотрим, наконец, амплитуду 2Rj?v. В данном случае перенормировка волновой функции является более тонким вопросом, чем перенормировка электронной линии, которая может быть получена просто по теории возмущений. Чтобы решить эту задачу, вернемся
, . Ч (9.6)
Ф3(k\ k- P)-*k-PO(-jF), F(k2) —*■ 0.
14. Приложения кцральной алгебры плотн. токов U (6) ®1/(6) 397
к методу Фубини — Фурлана [18]') и рассмотрим величину
(P,q)=-i\ (fxe1** (я" | Т (/; (х) £ (0)) | я") (9.10)
во всех порядках по электромагнитному взаимодействию. Заметим, что
(<•-1 /; (о) I »”> - (уг) z (р.-+
При q —*■ 0 получаем
О (q2) = = 2q-P + i(n~\ (0), Q+] |я"> -
- / J А I Т(д% (х) д^+ (0))|я">. (9.11)
Выделим борновские члены из последнего слагаемого, используя соотношение
-К"-1 адг (0) | „”> - (^L) & + 2, ■ Р) - (^-) м - „1).
(9.12)
Вклад непрерывного спектра получается путем замены г? /* на ± ieAj* и последующего спаривания операторов электромагнитного поля. В низшем порядке по е2 имеем
О (q2) = 2q • Р + const + , 2 ^ ^-f
(<72 + 2<7 - Я + -
+ e2j d\ (x) (я" | T (/; (д) ;;+ (0)) | л"), (9.13)
где £>цУ — фотонная функция распространения. Сохраняя линейный по q • Р член, получаем формулу Фубини — Фурлана (Вайсбергера— Адлера)
J (9.14)
') S. Fubini, G. Fur Ian, С. Rossetti, IAEA, Vienna, не опубликовано. Аналогичные расчеты проводились Нортоном (R. Norton, частное сообщение). См. также работу [16].
398
Дж. Бьёркен,
Проводя преобразование сдвига в fe-пространстве, мы можем перенести дифференцирование на функцию распространения фотона £)цЧ(1г). После взятия производной мы получим из D^y величину порядка l/k3v что позволит нам учитывать в 7^ только члены порядка l/k. Эти члены известны из § 3 и при тех же предположениях об асимптотическом поведении неупругих формфакторов равны
