Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
?>_=[-1, ti,], 3)+=Ы 1], т12<т]1. (4.19)
Около левого полюса ц^З)- решение уравнения (4.8) представляется в виде
V- (т)) = С [zl (т)) ] -* М%, т/2 (2р2_ (т,)), (4.20) где C=const, а Мх,т/2(2р2) —регулярная в нуле функция Уиттекера (см. (5.67) гл. I); индекс % остается пока неопределенным. Функция AfXi т/2 (2pz), согласно (5.67) гл. I, обращается в нуль при 2=0, т>—1/2. Поскольку по определению т^О, для выполнения граничного условия (4.11) при г)=—1 достаточно положить
2_(т))|^-,=0. (4.21)
Применение рекуррентной процедуры, подобно изложенной в § '5 гл. I и проиллюстрированной на примере построения асимптотики в. у. с. ф. при с->со, после довольно громоздких вычислений приводит к следующей асимптотической формуле для масштабного преобразования 2_(т)):
г_(р, р, х; т|)=1+л + 1{(х + р)1п(-Ц^-)} +
4- 1 fx(x + P) 1п М-ч\_ (Х + Р)2 + т
Т р*\ 1 + т) Ш^ 2 J 2(1-ti) i_
+ тКх + Р)8 + х]4 4х(х + Р)} + ^-{-^г^х
х^)+^у+у»1п(1^).
Х[(Х+Р)2 + т] 2(1-71)
(Х+Р)((х+Р)2 + т+1) , (Зх2 + т)(х+Р) ( 4(1—Т))2 "т" 4(1 +т)) "1"
+ -rg- (Юх3 + 18Х2Э + 9# + 2тр + Р3 + + 1 + Р)} +
+ (4-22)
где т=(1—т2)/4.
206
Из условий разрешимости рекуррентного процесса на каждом этапе находится асимптотическое разложение собственных значений (р, 2рР)
Х™(р, 2рР;-1, х) = 2р(2Х +р)-{2Хр +
+ 7 (4х2 + 1 - я*2)}- -^{2х (4f + 1 - m2) + № + 1 -
- m2) р + 4Хр2} + -g^r {-80х*- 40х2 + 24х«т« -- (1 - та)а - (80ха + 20 - 12т2) 2хр - (96ха +
+ 8 (1 _ та)) р2 - 16^]+^ М8 + ± [j?>]4 +
+ ^[^]5+0(^). (4.23)
Дополнительные аргументы собственного значения — 1, X указывают, что данное разложение ХЙ] соответствует эталонной функции вблизи левого центра ц=—1 с индексом х- Коэффициенты [Я^]з, 4,5 приведены в табл. 14. При вычислении коэффициентов разложения (4.23) достаточно знать лишь разложение г-(г\) в ряд Тейлора около 11 =—1, что является общей чертой метода эталонного уравнения § 5 гл. I.
Определяемая формулами (4.20), (4.22) функция V-имеет <7_ нулей на промежутке — 1<г|<:т]_
q- -= Ent (х - »±1) в (х - «±i), (4.24)
где Ent х — целая часть х, а в (х) — ступенчатая функция,
:<°:
Формула (4.24) вытекает из свойств функции Уиттекера Mt>m/i(x) (Бейтмен, Эрдейи, 1967, т. 1, стр. 277).
Вблизи правого центра решение углового уравнения имеет вид, аналогичный (4.20), но с другим масштабным преобразованием г+(ц) и с другим параметром %'. Переход от левого центра к правому в разложениях
207
Таблица 14
gj^js (33s4+114s2 — 46s2m2+37+ 13m4 — 50m2) + +,(165 s4+342 s2 — 138 s*m2+37+ 13m4 — 50 m2) t}+ + (284 s2+292 — 156m2)sp2+ [192 s2+64(l — m2)] p3+40sp4}
Tg^l - 63 s« — 340 s4 — 239 s2 — 14+100 s4ms — 39 s2m4+ +230 s2m2+2me — 18 m4+30 m2 — (378 s4+,1360 s2+478 — —400 s2m2 —460 m2+78 m4)sp — (845 s4+1810 s2+ +209-630 s2m2 — 250 тг+41 m*)\?— (860 s*+900— —460 m2)sps— [384s»+128(l—m2)]p4 —56sp5}
?Ji4{s(527 se+4139 s4 + 5221 s2+1009—939 s4m2+ +465 s2m4 — 3750 s2m2 — 53 me+635 m4 — 1591 m2) + + (3689 s«+ +20 695 s4+15 663 s2+1009—4695 s4m2+,1395 s2m4 — —11 250 s2m2 —53 m6+635 m4 — 1591 m*)\)+(l0 128s4+ +37 640 s2+.14 072 — 9520 s2m2 — 11 640 m»+1440 m4)s?2+ + (13 750 s4+30 140 s2+3630—9780 s2m2—4140 m2+ +510 m4)p3+ (9520 s2+10 080—5040 m2)sP4+;[3072 s2+ +1024(1 — m2)Jp5+336 s\}6}
(4.22), (4.23) осуществляется заменами
ti->— t], p, x-^x',
2+(p, P. x', т1)=2_(р, -p, x', -ti), (4.26) (p, 2p{5; 1, x') = (p. ~ 2pP; - 1, x')- (4-27)
Число нулей функции У+(г|)на промежутке ti+<ti<1 определяется формулой, аналогичной (4.24)
д+ =- Ent (у/ - ?±!) в (х' - -2±1). (4.28)
Для каждого собственного значения Кщ{р, 2/ф) построены два асимптотических разложения, которые за-
Коэффициенты степенного разложения собственного значения (р, 2р($; —1, %) в формуле (4.23) (обозначение: s=2x=2nH-»»+l)
208
висят от индексов % и %' соответственно. Приравнивая эти разложения
А™ (р, 2р6) = Я™ (р, 2р6; - 1, х) = А™ (Л 2р6; 1, х').
(4.29)
находим соотношение, которое связывает индексы х и х'-Подставив в (4.29) разложения (4.23), (4.27) и разрешая получившееся уравнение относительно %', получаем
Х'=Х+Р. (4.30)
Хотя разложения для Я|$ известны, согласно (4.23), с точностью до 0(р~б), связь индексов (4.30) справедлива с точностью до 0(р~п), где п — сколь угодно большое целое положительное число. Доказательство этого утверждения (Комаров, Славянов, 1969) основывается на знании точного решения одноцентровой кулоновской задачи.
Таким образом, в двух перекрывающихся областях 2D- и 3)+ построена асимптотика решения (4.8), зависящая от индексов х и X' эталонных функции. Потребуем, чтобы функции v-(r\) и V+ (т^) совпадали в интервале перекрывания 3)- и т. е. при ii2"<ii<;iii,
V_(ti) = CV+(ti), C=const. (4.31)
Равенство (4.31) эквивалентно обращению в нуль определителя Вронского функций v-(r\), v+(r\)
vl (т|) v+(n)- V_(t|) v+ (ц) = 0. (4.32)
Подставляя в условие (4.32) найденные разложения функций v-(r\) и v+(r\) и используя асимптотику функций Уиттекера (5.68) гл. I, получаем трансцендентное уравнение, связывающее индексы % и %'
