Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
{ А 1Т1/Г) при|т|г^Г,
R (v — < Л
I 0 при других т.
а) По критерию минимального среднего квадратического отклонения (см.
разд. 4.6) найдите А и Т, обеспечивающие наилучшее соответствие этой функции оценочной автокорреляционной функции, значения которой вычислены в за* даче 6.4.1 б.
б) Используя результаты п. а и уравнение (6.18), определите еще одно ограничение сверху приближенного значения автокорреляционной функции. Ср. с решением задачи 6.4.2 а.
6.4.4. Автокорреляционная функция случайного процесса X (t) имеет вид.
Rx (т) = 10 ехр [—5 | т |] cos 20т.
Считая, что выборки нз процесса производятся с интервалом 0,01 с, определите объем выборки, необходимый, чтобы оценить автокорреляционную функцию со средним квадратом отклонения, не превышающим 1 % дисперсии этого процесса.
6.5.1. Пусть реализация случайного процесса имеет вид, представленный на рнс. 6.4, а, и пусть интервалы между переключениями суть статистически независимые экспоненциально распределенные случайные величины (см. разд. 2.7). Покажите, что автокорреляционная функция этого процесса имеет вид двусторонней экспоненты, показанной на рис. 6.4, б.
6.5.2. Полагая, что значения реализации х (t) случайного процесса X (() из задачи 6.5.1 колеблются между 0 и 2 А, а не ±Л, как указано на рис. 6.4, а, определите автокорреляционную функцию такого процесса.
6.5.3. Определите математическое ожидание и дисперсию случайных процессов со следующими автокорреляционными функциями:
а) 10 ехр [—т*], б) 10 ехр [—т2] cos 2пт2,
в) 10 (т2 + 8)/(т2 + 4).
6.5.4. Пусть автокорреляционная функция случайного процесса имеет
вид
Rx (т) = 10 ехр [—2 |т|] — 5 ехр [—4 |т|].
а) Определите математическое ожидание и дисперсию этого процесса.
б) Дифференцируем ли этот процесс и почему?
6.7.1. Пусть автокорреляционные функции двух независимых стационарных процессов X (t) и Y (t) соответственно равны
Rx (т) = 25 ехр [—10 | т | ] cos ЮОпт,
Ry (т) = 16 (sin 50ят)/(50пт).
Определите автокорреляционную функцию
а) процесса X (t) + Y (t),
б) процесса X (t) — Y (t).
в) Вычислите взаимные корреляционные функции процессов, указанных в п.п. а н б.
г) Определите автокорреляционную функцию процесса X (t) Y (t).
6.7.2. Найдите возможные максимальные значения взаимных корреляционных функций двух случайных процессов из задачи 6.7.1, используя иеравеи-
ство (6,29). Сравните предельное значение, даваемое (6.29), с реальными максимальными значениями этих взаимных корреляционных функций.
6.7.3. Автокорреляционная функция стационарного случайного процесса X (i) имеет вид Rx(t) = (sin т/т). Определите
a) Rxk (т), б) Rk (т).
6.7.4. Взаимная корреляционная функция двух стационарных случайных процессов X (() и Y (t) имеет вид
RxyW = 16 ехр [—(т — 1)а].
Найдите взаимную корреляционную функцию для производной случайного
процесса X (t) н случайного процесса Y(t), т. е. определите R ¦ (т).
X Y
6.8.1. Гармонический сигнал описывается выражением
X(t) = 0,01 sin (100*4- 9),
где 0 — случайная величина, равномерно распределенная между —я и я. Этот сигнал наблюдается на фоне независимого от него случайного шума, автокорреляционная функция которого равна
Rn (г) = 10 ехр [—100 |т|].
а) Определите значение автокорреляционной функции аддитивной смеси сигнала с шумом прн т = 0.
б) Определите наименьшее т, для которого пиковое значение автокорреляционной функции сигнала в 10 раз превышает автокорреляционную функцию шума.
6.8.2. Один из способов выделения синусоидального сигнала из смеси с шумом связан с использованием коррелятора. В этом устройстве напряжение входной смеси сигнала с шумом умножается на напряжение местного опорного генератора, которое имеет такую же форму, как и измеряемый сигнал, а затем математическое ожидание полученного произведения выделяется фильтром ннж-ннх частот. Предположим, что напряжение смеси сигнала н шума из задачи
6.8.1 умножается на опорный сигнал, имеющий вид
г (t) = 10 cos (100/+ cp).
Произведение равно
Z (t) = г (t) X(f)+г (t) N (t).
а) Найдите математическое ожидание случайного процесса Z (t) при условии, что ф предполагается фиксированным, но заранее неизвестным.
б) Для какого ф ожидаемое значение Z (t) является наибольшим?
6.8.3. На передней и задней осях подвижного объекта смонтированы датчики вибраций, предназначенные для измерения случайных колебаний, вызванных неровностями поверхности дороги. Напряжение сигнала, поступающего от датчика, установленного на передней осн, можно представить в виде
