Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
sin 0
о ft ft О
_________ 2"
2 0il1 2 '
V j Vo fy ."if
i (у + Ф) cos cos e * — sin -к- sin e
(6")
C0ST
где, напомним,
0 Re 0 it,
0 Re cp < 2ir,
— 2ir sg: Re ф 2ir.
Подставим значения tlmn (gig2), tlmk (gi) и tlkn (g>) в равенство (2). Мы получим тогда, что функции Plmn(z) удовлетворяют следующей теореме сложения:
i
е-> (>»? + »*) Р'тя(СО80) = 2 (COS 00/4 (cos 02), (7)
k = — i
где углы ср, ф, 0, 0j, ср2, 02 связаны соотношениями (6) — (6")-
Рассмотрим некоторые частные случаи теоремы сложения. Пусть ср2 = 0. Тогда, если Re (9j —)— ©2) <С 7Г> имеем 9 = ®i-|-®i> <р = <|> = 0, и поэтому формула (7) принимает следующий вид:
i
р‘тп [ COS (0J -{- 02)] = 2 /5mft(cos61)pft„(cos0s!). (8)
k = — l
Если же Re (0j -|- 02) тг, то 0 = 2тг — 0j — 02, ср = тг и ф = тг. Поэтому формула (7) принимает вид
i
/5L[cos(01+02)]=(-l)m+n 2 (cos 0t) (cos 0*). (9)
Пусть теперь <р2 = тг. Если Re 0j ^ Re О^, то 0 = 0j — 02, cp = 0, ф = it, и поэтому получаем
1
pjnn [COS (0! — 0g)] = 2 (— 1)"“* plmk (COS 0j) (COS 0g). (10)
k = — l
В частности, при б1 = б2 = б имеем
I
2 (- 1 TkPlmk (COS 6) p‘kn (COS 0) = Ьтп. (11)
A = — I
При вещественных значениях в имеет место равенство
Р‘тп (C0S 0) = (— 1)”‘m Ртп (C0S 0)
§4] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ (г)
(см. п. 6 § 3). Поэтому при вещественных 0j и 02 формулу (10) можно переписать следующим образом:
Pmn[cos(0i — 0S)]= S P^mk (COS 0j) Pnk (COS 0j), (10')
A = —/
где 0i ^ 02. При 0j = 02 получаем i _____________________________________
2 Plmk (COS 00 Plnk (COS0!) = pL (1) = 8m„. (110
Равенство (11') имеет простой групповой смысл. При вещественных 6
матрица g(О, 6, 0) принадлежит подгруппе SU(2). Но Tt(u) является уни-
тарным представлением этой подгруппы и, следовательно, матрица с элементами Plmn(cos 6) унитарна.
Нам понадобится в дальнейшем еще случай, когда ер2=~. В этом случае формулы (6) — (6") принимают следующий вид:
cos 0 = cos 0j cos 02, (12)
Jv___________Sin Dj COS B2 -j- ( Sin I
sin e
-./¦о-Г 01 +02 I • 01 — 021
у 2 I cos-------2------1- t cos-----2— I
2cos-2-
(12')
(12")
Вместо формул (12') — (12") удобнее взять формулы
. Sin Vg / 1 Of\
gtfl = sin01cos02 ’ ( )
tg<[)= s:e.' (i3")
T cos 0J sm 03
непосредственно вытекающие из формул (3'), (3") п. 2 § 1. Таким образом,
i
e-i («9 + 1И.) р‘тп (cos 0) = 2 rk Pmk (COS 00 pL (cos 00, (14)
k = — l
где ер, ф, 0, 0J, 02 связаны соотношениями (12) — (12").
2. Теорема сложения для многочленов Лежандра. Из доказанной теоремы сложения для функций Plmn(z) вытекают, как частные случаи, теоремы сложения для многочленов Лежандра и присоединенных
140 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ЙТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 111
функций Лежандра. Мы определили эти многочлены формулами
Pl(z) = Pl(z) (1)
И
P?{2) = im YiU±l!iP^ (2)
(см. п. 9 § 3).
Положив в формуле (7) п. 1 я = 0 и воспользовавшись соотношениями (1) и (2), получаем
pm (cos Q-j —
=r 2 l~k Vш p'mk (cos 0i) pki(cos 4 (3)
k =—l
где числа ср, 0, ср2, 0Ь 02 связаны соотношениями (6) — (6") п. 1.
Если же положить т — 0, п = 0, то имеем
Р[ (cos 01 cos 02 — sin 0j sin 0a cos <pa) = i
= 2 (cos 00- (4)
fe = —/