Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Ся ig) = tlnm \gib 0. 0)] t‘mn (0) t‘nn [g(0, 0, Ф)] = e (0). (3)
Нам осталось получить явное выражение для tlmniP)- Матрица
§¦(0, 0, 0) имеет вид
f cos\ I sin ^(0,0,0)= \ \ , 0 sg Re 0 < тт.
V sin -2 cost/
Поэтому для вычисления tl (в) надо подставить в формулу (4) из
6 О
п. 2 a=8=cos-2-, р = 7 = i sin у. Мы получим
Н ___t-m-n "I / И)1 -J.„m+л ® \/
lmn i°) — у (/ + т)!(/+л)| ctS уХ
X У _______________V+Jlfl_________sin^JL (4)
/ = max (m, rt)
Как отмечалось в п. 4 § 1, параметр 0 изменяется в области O^Re0<^ir. Но в этой области различным значениям 0 отвечают
128
ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. III
различные значения z = cos в. Поэтому tl (В) можно рассматривать как функцию от cos в. В соответствии с этим мы положим
tlmn (0) = Plmn (C0S 0)> 0 < ^ б < тг (5)
и запишем формулу (3) в следующем виде:
tlmn(S) = ^{n"f^)plmn( COS0). (6)
4. Различные выражения функций Plmn(z). Мы ввели с предыдущем пункте функции Р1тп (^), через которые выражаются матричные элементы неприводимых представлений Tt (g) группы SL (2, С). Изучим свойства этих функций. Получим сначала явное выражение функции Р1 (г). Из равенств (4) и (5) п. 3 вытекает, что
Р‘тп (z) = i^n У {г, - g-l f1^4) '¦* X
(/ + т)\ (/ + и)! \1 —z)
х У ___________________il+JHH__________("У и)
j = max {m, n)
11 N m + П
l + z\
Входящее в эту формулу выражение ^ 2 двузначно (напом-
ним, что от и я либо одновременно являются целыми числами, либо полуцелыми). Чтобы однозначно определить Р‘тп (г), вспомним, что параметр в изменяется в области 0 eg Re 0 тт. Отображение г = cos А переводит эту область в плоскость г, разрезанную вдоль вещественной оси по лучам (—оо, —1) и (1, со). Но в разрезанной таким образом
j I ~\т +п
плоскости функция ) 2 однозначна.
. 1-Z)
Выберем ветвь этой функции, принимающую положительные значения на отрезке (— 1, 1) вещественной оси.
Используя доказанные в пп. 1 и 2 формулы для tlmn(g)> легко получить другие выражения для Plmn(z). Применив, например, формулу (7) из п. 1 к матрице
/ о . . ох cos I sin -у
?(0) = |
. О 0
, г sm у cos у
получим
т — п , ,
П1Л(г)=г'т~л Hr)' X
Х 2 Л (/ — т —у)! (1(+п —j)\ (ii^T+J)\ (r+z) 1 (2)
где М = шах (0, ti — т), N= min I — от).
3] МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ 129
Далее применим к матрице g(в) формулу (11) п. 2. Заменяя г на -у—, получаем после простых преобразований
pi ХГ______(' + ")»___Х
итп^>— 2l У (/ —я)!(/ + я)!(/ —т)! А
— т — п п — т f/
Х(1+^)“(1-г) 2 (3)
Наконец, из формул интегральных представлений (14) и (15) п. 2 для t‘mn(g) находим:
pi (Z)_____! \Г(1~тУ (у +«)! х
^тл ^ — 2тс Г (/ —я)!(/ + я)! л
X
I в т I • • в • 6 т , 0 -TV+n
\ ( cos уе2 -|-г sm уе 2) Iг sm у е2cos-у е 1J е ?df =
Г
X (it sin у+ cos yj (4)
где z= cos 0, |^|=1.
5. Частные значения Pl (z). Вычислим значение P‘„ (г) при z= 1
тп 4 / тпп 4 / г
(т. е. при 0 = 0). Если 0 = 0, то g(0) — единичная матрица. Поэтому и матрица оператора Tt (g(6)) при 0 = 0 является единичной. Поскольку
tL(e)=pL(cos6)’ то
^л(0) = 5тл- (!)
где 8тл — символ Кронекера.
Далее, пусть z = —1, т. е. 0=тг. В этом случае матрица g(6) принимает вид
*(')=С о
Как было показано в п. 2, для этой матрицы tl (g) = 0 при т-\- п ф О
и ^ = Таким образом, Р1 (—1) = 0 при т-\-пфО и
Р1 т’ 7— 1) = г2/. т, — т \ >
Теперь рассмотрим функцию Plmn(z) при т = 1. В этом случае сумма в формуле (1) п. 4 содержит лишь одно слагаемое, соответствующее значению j = l, и потому
Р'„ W=? Yj^whw о - *г^" о+^ ¦ <2>
130
ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. III
В частности,
(3)