Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
оо — Ь
$ | F (к) е~^У | 2 г/Х > $ |/г(Х)е-^|»Л>
— оо — а
— Ъ
> е’ь-{ \ | F (X) I 2 dk =e-b>' I-^оо лри Ь--*со,
— а
что противоречит ограниченности интеграла (8). Чтобы доказать сходимость 00
$ ! /""(Х)!2 dk, достаточно положить в равенстве (7)_у = 0. о
Мы доказали, таким образом, следующую теорему:
Теорема 3, Класс функций f(x^\-iy), аналитических при у > О и таких, что
00
$ \f(x + iy) |2 dx < С, _y>0, (9)
— 00
совпадает с классом функций, представимых в виде
00
/(z) = $ F(k)eikzdl, (10)
б
где интеграл сходится в среднем и
00
5 | F(k) I2 dk < оо. (11)
О
При этом
00
1. i. ш./(а: + (у)= \ F(k)enxdk, (12)
.у- + о о
где интеграл понимается в смысле сходимости в среднем.
При дополнительных условиях гладкости и быстрого убывания, накладываемых на функцию F(k), предел в среднем в равенствах (10) и (12) может быть заменен обычным пределом.
3. Преобразование Меллина. Сопоставим с каждой функцией F (X) на оси —оо<^Х<^оо функцию Ф(^) = /7(1п t), заданную на полуоси 0<^tоо. Выясним, что соответствует при гаком отображении преобразованию Фурье. Для этого сделаем в формуле
00
f{z) = ^ F(k)ea*dk (1)
— 00
подстановку Х = 1п?. Мы получим
00
/(г) = ^ (2)
— 00
104 АДДИТИВНАЯ ГРУППА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ [ГЛ. II
Формула обращения примет при этом вид
ОО
Ф^=к $ mt~ixdx. (3)
— 00
Если функция F (к) такова, что ее преобразование Фурье можно продолжить в комплексную область, то и преобразование (2) можно продолжить в комплексную область и формула обращения принимает вид
СО - j- ci
= Й \ fWudz. (4)
— оо -f- ci
Предположим теперь, что функция Ф(?) бесконечно дифференцируема на полуоси 0 t<^ со, причем функции t0'- — ]Ф (t) и t~ с*— 'Ф(0>
с1>0, 0, суммируемы. Тогда функция f(z), z = x~Y’iy, опреде-
лена в полосе — с, у г2. Обозначим iz через w, w = и -)- tv, и положим /(—lw)= ?у(го). Тогда преобразование (2) примет следующий вид;
СО
^ О) = § Ф (Y) tw l dt. (5)
0
Формула же обращения запишется в виде
1 оо
ф(0 = ^г j d(w)t~w-dv. (6)
— i оо
При этом вместо мнимой оси можно интегрировать по любой прямой, параллельной этой оси и проходящей в полосе—и <С с\- Иными словами,
с -j- г со
фС0=2^/- J RMt-wdv, (.7)
С — I 00
Формулу (5) называют преобразованием Меллина. а (6) — формулой обращения для этого преобразования. Это преобразование связано с представлениями группы R+ положительных чисел, в которой групповой операцией является умножение чисел.
Из теоремы Планшереля для преобразования Фурье без груда вытекает следующее равенство для преобразования Меллина:
СО 00
'||Ф(ОГ2т = ^ $ №y)\'dy- (8)
О — оо
Мы будем называть его аналогом формулы Планшереля для этого преобразования.
§ 41 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 105
Формула (8) позволяет распространить преобразование Меллина на все функции Ф(?). для которых сходится интеграл
ОО
$|Ф(0|2у. (9)
При этом интегралы в формулах (5), (6) надо понимать в смысле сходимости в среднем.
С преобразованием Меллина связано следующее интегральное преобразование. Предположим, что в формулах Меллина функция Ф (t) аналитична в точке ( = 0 и в области, содержащей положительную вещественную полуось. Рассмотрим интеграл
