Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Вычитая из формулы (3) формулу (4), получаем рекуррентное соотношение, связывающее три функции ^тл(^) со смежными значками:
(/ - я) +1 (*) - (/ + п) $'т. „ _, (г) = 2 mI^ spL (г). (7)
у z2 — 1
Точно так же из формул (5) и (6) вытекает, что
(/+И + 1) ^ + i.„(z)-(/-w+1)^_i.,(z) = 2-^!!1 $«(*).
У z* — 1
(8)
Далее, дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют функции фтл(2), ВЫВОДИТСЯ ТОЧНО ТЭК же, как И ДЛЯ функций Ртп (¦&)
328 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU('l) 1ГЛ. VI
(см. п. 5 § 7 главы III). Оно имеет вид
(\/~л 7 d I (п+1)г — «Wi/'j —Г d I т nz ^ —
[Vz ~1dz+-y^r)(f/z -ldz+ys=ZT)#maW —
= (/—tl-\- l)^mn(^), (9)
или, в развернутой форме,
, ч rfasPmn (г) | „.^мй m~ п- — 2mnz тг /v4
(- -¦!)- dzt -f-~Z d: г2 — 1 +-mnW~
= /(/+1)^„(г). (Ю
Отметим, что эго уравнение совпадает с уравнением (5) для функций Plmn{z) в п. 5 § 7 главы III.
Из полученных соотношений, как частный случай, получаются соотношения для присоединенных функций Лежандра. Положим в равенстве (3) п = 0. Принимая во внимание формулу (5) п. 5 § 3,
получаем
^ ф»(г) = + 1 (2). (10)
Точно так же из (4) получаем
+ у^= ФГ (Z) = (I + т) (I - т + 1) ФГ - 1 (Z).
(П)
Из уравнения (9') получаем дифференциальное уравнение для присоединенных функций Лежандра
d^’P (г) dfyf1 (z) ;n2
гГ=Т <*) = Z<Z + !) (12>
Для функций Лежандра имеет место дифференциальное уравнение
(г* - 1) + 2г = /(/_!_ 1) sp4 (г). (13)
6. Производящая функция. Другой вывод рекуррентных соотношений связан с производящей функцией для (ch т). Именно в силу формулы (6) п. 2 § 3 имеет место равенство
(ch у 4- shy rI0j + (ch у 4- sh у e~ib)
е inH:
= 2 ^„„(chT).*-"»*. (l)
§4] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ty‘mn (ch т) 329
Заменив в этом равенстве е~!° на г, получим Ф(гг, x) = (zchy-|-shyj + ^shy-(- chyj^ =
СО
= 2 $,„(сЬх)г'+“ (2)
т = — со
Полученное равенство показывает, что Ф(г, т) является производящей функцией для ^m„(chx).
Полагая в формуле (2) z=\, получаем
СО
? VL(chx) = ^. (3)
т — — со
Полагая же г = е”‘, получаем
СО
2 (-ir-»q.4„(chT) = e-i\ (4)
ТП ¦= — со
izi
Наконец, полагая п = О и г = е2 , имеем
СО
2 mo (ch х) = ch' X. (5)
ТП = - СО
Равенство (5) можно переписать так:
СО
T(l + m+ 1) ^ (chx) — г(/+ту-
т — — со
Рекуррентные формулы для функций 5Цтп(chx) выводятся из разложения (2) точно так же, как и для функций Plmn(cos 0). Поэтому мы не будем выводить уже полученные выше формулы, а укажем лишь еще некоторые соотношения, связывающие функции $тп(chx) с различными значениями I.
Продифференцируем обе части разложения (2) по г, применим к обоим слагаемым в левой части разложение (2) (с заменой I на
на I—| и ti на и сравним коэффициенты при одинаковых
степенях z. Мы получим
, (chx) + (/-«)sh-Jsp~"» I (ch x) =
= (/-b-w)^m„(chx).- (6)
330 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU(2) [ГЛ. VI
Далее, умножая обе части равенств (2) на ^ ch —j— sh н былод-няя разложение левой части, получим
ф'+ 7, , (ch т) = ch \ (ch X) + sh ^ %}1т +,, „ (ch Т). (7)
т + тг , лЦ-— * ^
Аналогично, путем умножения на z sh у -(- ch, получаем ф+2, 1 (chx) = sh^ ^L(chx)-|- ch ~ фт+i, „(chx). (8)
Из равенств (7) и (8) непосредственно следует, что фтп (ch т) = ch -?¦ $ + 2! , (ch х) — sh ф + 2, , (ch х) (9)
т-1--. Я -J- ТП -I я----
фтп (ch х) = — sh ~ ф + \ 1 (ch х) -(- ch ф + 2, , (ch т). (10)
* т-~,п + Т г.
