Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
r - - -^О V Р
V Ур
Соотношения (16.5), (16.10) и формулы § 11 позволяют составить выражения
напряжений.
Задача о колебаниях цилиндрической трубки впервые рассматривалась Ноулсом
(Knowles, 1960); решение воспроизведено и дополнено в книге Трусделла и
Ванга (1974). Исходным соотношением в этих работах служило представление
напряжения oR. Его, следуя формулам (16.5), (16.10) и (11.4), можно
записать в виде
aw = lp(Bln/?* + i-^-)+fi /8) J|±^L^_Po. (8)
ы
Напряжения oR на внутренней и наружной поверхностях трубки r = r0, г = г1
обозначались -q0, - qx- Уравнение (8) приводит поэтому к соотношению
В In ' 52/-L-------^
B + rl 2 Rl
D (л/1 г \ б + 2л3 dr
J ^ (В + г'2)2 Т ~~'
повторяющему, конечно, (6). Представляется, что вычисление, использующее
уравнение Лагранжа, быстрее привело к цели.
§ 19. Радиальные колебания полой сферы
Преобразование отсчетной конфигурации в актуальную задается формулами
(16.13). С подлежащей определению функцией Л (t) внутренний R0 (t) и
наружный R, (t) радиусы сферы в актуальной конфигурации связаны
соотношениями
А = В3 - rs = RI - r%-= Rl~r\, -r\<A< 00. (1)
Выражение кинетической энергии имеет вид
T = § = fpA2(r0-lt) ¦ (2)
V
Инварианты ^(F), /2 (F) по § 9 определяются формулами
/i = ^ + 2^, /2 = ^ + 2^-. (3)
312 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
тт " dR
Далее R и ^ следует заменить их выражениями
Д = (Л + г3)Ч ^4=з^2 (4)
и потенциальная энергия деформации представляется выражением
^1
П(Д)= 4л J 9(7,, /s)radr.
Го
Это-положительная функция, равная нулю в отсчетной конфигурации Л = 0;
при А-г-Го и Л-^оо, П(Л)->оо. Выражение ее производной приводится к виду
г о
Кат+^1) №' + r'> W' <5>
Го
откуда, предположив выполнимость эмпирических критериев (5Л1.3),
заключаем, что П (Л) монотонно убывает при отрицательных и монотонно
возрастает при положительных Л, имея единственный равный нулю минимум при
Л = 0.
Уравнение движения представляется выражением
12Д|нК- + г-)(|ЦД =
= 3(q0 - q1) (6)
и, конечно, его можно получить по уравнению аналогичному (18.8), в
котором теперь согласно (9.24)
г, t
oR = - р? + 4Л $э(/1; /2) r2dr = 6 J [?о(0 -Д (К)] Л Д + /г, . (7)
Г" О
а ? определено формулой (16.10).
Интеграл энергии приводится здесь к виду
о 7
Р^2 + 18 j 9 (7i> 7з) r2(ir = 6 j [tj0 (0 - ?7i (t)] A dt + h.
r0 0
(8)
Задача была рассмотрена Гуо Шонг-Хен и Солецким [7.14], решение
воспроизведено в книге Трусделла и Ванга. Исходным
§ 20] АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ 313
соотношением служило уравнение (19.7). Для сферической оболочки весьма
малой толщины г? = Го(1 +б), б<^ 1; сохранив в (8) лишь линейные по 8
слагаемые, имеем
J Tr = ^-<*+l>~V'* h)r*dr = ^-z(n,Il), х = 4,
R 0 Rl 6ro J J r0
г о
причем
П--=^г + 2-?1--=(\+х)-*/' + 2(1+ху/',
R о Г 0
П = Щ- + 2^=(\+ху/' + 2(\+х)-2'к
r 0 R 0
Уравнение (8), если ограничиться рассмотрением свободных колебаний,
приводится к виду
рф2 (1 + х) -'/. + 18э (7(r), II) = = Е = const,
б Г0
причем -1 < х < оо и отмеченные выше свойства функции П (Л) позволяют
утверждать, что при любом Е > 0 уравнение
? - 18з (/J, II) -0
имеет два и только два вещественных корня х0 <0, хг > 0. Движение
представляет колебание в этих границах х0 хлу с периодом
X1
- Г dx
Т -2r0j/p j (1 + x)v3/^Z7[7f^0) • (9)
ATq
Например, для неогукова материала
__ хх
T = |^(1+X)V,_[1+2(1 +x)2]}",/2dx. (10)
§ 20. "Антиплоская" деформация в несжимаемом материале
Деформацию цилиндрического тела называют "антиплоской", если перемещения
его частиц параллельны образующей и не зависят от аксиальной координаты.
Декартовы координаты as отсчетной конфигурации служат ее материальными
координатами. Предполагается, что антиплоская деформация осуществлена в
предварительно растянутом Ийлиндре, так что в актуальной конфигурации
декартовы
314 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ _ [ГЛ. 7
координаты xs определяются формулами
х1 - А,-1/2а.1, х2 - Я,-1/2а2, х3 = Ха3 + и (а1, а2), (1)
причем Я- постоянная, а и (а1, а2) - подлежащая определению, дважды
непрерывно дифференцируемая в открытой области поперечного сечения
цилиндра функция, о
Градиент места VR, мера деформации G и ее инварианты равны
VR-(iii1 + i2i2)^-1^ 4 i3i3X+V"i3, (2)
00 / 0 0 \ 0 О
G = VR- VRT -= (ЦК + i2i2) Я-1 4-Я2КЦ +Я {Vuis -f i3V" J -f Vu Vu,
(3)
/j (G) - 2Я-1 + Я2 -j- Vu ¦ Vu,
I2(G) --K-2 + 2K + 'k-1Vu-Vu, 73 (G) -= 1, (4)
а представление Vr имеет вид
Vr - (Vr) ¦= (i,ij + i2i2) Я1/* -f 1313Я"1 - X-'^Vu i". (5)
По (2.4), (2.5) тензор напряжений Коши Т и определяемый по нему тензор
Пиола Р равны
Т= 2 P^VrT-T = 2
<Д7 F Ifh (^]Е F) • F
-Ь/ОЕ,
dl
В три уравнения статики
(6)
V-P = 0 (7)
входят две неизвестные функции р и и (а1, а2); поэтому "анти-плоская"
деформация осуществима не при любом, а только при удовлетворяющем
некоторому условию задании удельной потенциальной энергии деформации
э(/,, /2). В частности, как будет видно из дальнейшего, она осуществима в
материале Муни - Ривлина (4.1). Общий случай рассмотрен Ноулсом (J. К.
Knowles, 1976).
