Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
часто используется в струнных вычислениях и иногда называется "принципом
сокращенного пропагатора". Вообще говоря, на теорию струн можно смотреть
как на теорию поля с необычайно большой группой калибровочной симметрии;
с этой точки зрения отщепление состояний с нулевой нормой можно
трактовать как утверждение о том, что древесные амплитуды на массовой
поверхности сохраняют эту калибровочную инвариантность. Но так же, как и
в теории точечных частиц, инвариантность в теории струн может нарушаться
на уровне одной петли вследствие эффектов, известных как аномалии. Этот
круг вопросов мы детально обсудим в гл. 10. Заметим, что если применять
метод сокращенного пропагатора без должной осторожности в
нерегуляризованных расходящихся выражениях, то легко получить и ошибочные
результаты, что, например, и происходит для некоторых петлевых диаграмм в
теории открытых струн.
7.1.6. Оператор твиста
При построении амплитуды Ам мы пользовались вершинными операторами,
описывающими испускание частиц с того края мировой поверхности, который
соответствует о = 0. Однако нет никаких оснований считать, что этот край
чем-нибудь лучше другого, ст = л, откуда частицы могут испускаться с тем
же успехом. В этом случае вершинные операторы надо строить из поля Х(о =
я, т), а не из Х(о = 0,х), или же можно ввести "оператор твиста" Q,
отображающий ст на я - ст, т. е. обладающий свойством
V (о = я) = QF (ст = 0) Q-1. (7.1.73)
420
7. Древесные амплитуды
Очевидно, что необходимо потребовать fi2 ==1, поскольку твист,
выполненный дважды, эквивалентен отсутствию твиста вообще. Замена а = 0
на ст = л в граничных условиях открытой струны приводит к умножению
каждого осциллятора ап (как, впрочем, и Sn в случае суперструны) на фазу
(-1)", что достигается введением оператора
Q = ±(-lf, (7.1.74)
где N - обычный оператор числа частиц (для бозонной струны он равен X,
а~п'ап)- Общая фаза у Q условием (7.1.73) не определяется, и нужны
дополнительные соображения. Для бозонной струны правильным выбором будет
знак плюс, поскольку
3 2 4 4
-----X-X---- --X-------- ---------х--
4 1=3 1+3 I
--------------------------х- ---х--------
2 2
Рис. 7.9. Тождество с оператором твиста для четырехточечной амплитуды. Из
рисунка видно, что когда частицы испускаются из противоположных краев
мировой поверхности, то два разных способа упорядочения по времени
вершинных операторов отвечают одному и тому же циклическому упорядочению
всех четырех частиц.
состояния с четным N являются четными относительно зарядового сопряжения
(С) и соответственно состояния с нечетным N являются С-нечетными. В
суперструне (в суперсимметричной формулировке) ситуация обратная, там
выбирается знак минус.
В качестве иллюстрации действия оператора твиста рассмотрим
четырехтахионную амплитуду. Рис. 7.9 наводит на мысль о возможности
следующего тождества:
(1 | V (2) ДУ (3) | 4) = (1 | V (2) Д?2У (4)|3) +
+ <1 | У (4) ДЙУ (2) | 3). (7.1.75)
Два члена в правой части соответствуют двум возможным способам
упорядочения по "времени" т моментов испускания частиц № 2 и № 4, причем
оба они соответствуют мировой поверхности с одним и тем же циклическим
порядком частиц. Поэтому имеет смысл предположить,' что в сумме они
действительно дают левую часть.
Левая часть (7.1.75) уже вычислялась, и было показано, что она равна
1
g2 \ y~2~s!2 (1 - ytki dy = g2B (-a (s), -a {t)), (7.1.76)
о
7.2. Замкнутые бозонные струны
421
где s = -(ki + k2)2 и t - - (k2 + k3)2. Оба слагаемых в правой части
легко вычисляются с помощью описанной в разд. 7.1.4 техники; оказывается,
что эффект твиста сводится к замене
1-у на 1 + у. Первое слагаемое в правой части дает
тут сделана замена переменных у = х/ [х 1). Второе же слагаемое дает
интеграл от 1/2 до 1, и в сумме мы получаем ровно (7.1.76), что и
следовало ожидать.
При вычислении древесных амплитуд введение оператора твиста есть лишь
вопрос удобства, прямой необходимости в его существовании нет. Даже для
однопетлевых диаграмм без него можно обойтись, если мировая поверхность
ориентируема, мы можем использовать вершины У(0) для одной границы, г
V(n) - для другой. Однако на том же однопетлевом уровне для
неориентированной струны мы сталкиваемся с мировой поверхностью, имеющей
топологию листа Мёбиуса, и тут обойтись без оператора твиста становится
почти невозможно.
Древесной диаграмме замкнутой струны соответствует мировая поверхность,
имеющая топологию сферы. Более того, с помощью подходящего конформного
преобразования можно долбиться, чтобы и геометрически эта поверхность
была нормальной сферой, которую, в свою очередь, можно отобразить
стереографической проекцией на комплексную плоскость. Разделение в теории
замкнутой струны левых и правых мод, что мы неоднократно подчеркивали в
предыдущих главах, приводит к тесной связи между амплитудами замкнутой
струны и парами амплитуд открытой. И если общий вид древесной амплитуды
в открытой струне - это ^dyf(y), где у обозначает набор вещественных
