Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
trf
тим ее вдоль траектории 7' поля v' на время t' = Здесь с — время первого возвращения точки у на сечение Ptr. Другими словами, с — это длина участка траектории 7 от точки у до точки а(у). Число с' определяется аналогично. В результате мы получим некоторую точку на траектории 7'. Обозначим ее через ?(ж).
Построенное отображение U(L) —> U'(L') непрерывно и сохраняет траектории. В самом деле, его непрерывность нужно проверять лишь на самом транс-версальном сечении Ptr, а это гарантируется тем, что ? сопрягает отображения Пуанкаре. В случае седлового атома со звездочками нам на самом деле требуется, чтобы отображение Ptr —> Р(г сопрягало а и а'. Но это сразу следует из того, что а = х^1^2 ¦> и °ба сомножителя справа сохраняются по предположению.
Итак, мы построили гомеоморфизм U(L) —> U'(L'), являющийся, очевидно, искомой траекторной эквивалентностью.
В гладком случае доказательство практически дословно повторяется. Нам остается только дополнительно проследить за тем, чтобы время на траекториях менялось гладко. Теорема доказана. ¦
Таким образом, топологическая (гладкая) траекторная классификация интегрируемых систем на трехмерном атоме сводится с классификации гамильтоновых систем на двумерной поверхности с точностью до топологической (гладкой) сопряженности. Эта последняя задача нетривиальна. Следующий шаг, которому посвящены главы 6, 7, — описание инвариантов гамильтоновых систем, рассматриваемых с точностью до сопряженности, на двумерных атомах. При этом мы будем всегда предполагать, что все критические седловые окружности интеграла / являются гиперболическими периодическими траекториями рассматриваемой системы. Это будет гарантировать нам, что гамильтониан редуцированной системы (на трансверсальном 2-сечении) является функцией Морса.
Но прежде мы поговорим об общей стратегии.
230
Глава 5
5.4. Общая концепция построения траекторных
инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем
Итак, в предыдущих параграфах мы обсудили вопрос о траекторном строении интегрируемой гамильтоновой системы на естественных кусках, из которых состоит изоэнергетическое многообразие Q3, а именно, на ребрах и атомах молекулы. Теперь после того, как мы убедились в принципиальной возможности описания этой структуры на отдельных кусках поверхности Q3, мы можем представить себе в общих чертах, как нарисовать траекторный портрет интегрируемой гамильтоновой системы в целом, и как он будет в результате выглядеть. Процесс построения траекторного портрета системы можно разбить на несколько естественных этапов.
Шаг 1. «Молекула». Сначала мы должны решить более грубую задачу и описать структуру слоения изоэнергетической поверхности Q3 на торы Лиувилля, т.е. структуру слоения Лиувилля. Согласно предыдущей главе, эта структура полностью описывается так называемой меченой молекулой W* рассматриваемой системы. В результате мы, в частности, получим разбиение поверхности Q3 на естественные составные части: ребра и «узкие» атомы. Напомним, что ребра — это просто однопараметрические семейства торов Лиувилля без особенностей, на которые распадается изоэнергетическая поверхность после удаления всех особых слоев лиувиллева слоения. Атомы же, в свою очередь, являются регулярными окрестностями этих особых слоев. Окрестности выбраны достаточно «узкими», чтобы существовало трансверсальное сечение.
Шаг 2. «Реберные инварианты». После того, как структура слоения на торы полностью описана, мы должны перейти к описанию траекторий на торах и особых слоях. Более точно — на ребрах и атомах. Поэтому следующий шаг — это описание траекторного строения системы на каждом ребре молекулы. Для этого, как было показано выше, нам необходимо вычислить функцию вращения на ребре молекулы и рассмотреть ее класс сопряженности относительно гладких или непрерывных замен параметра, в зависимости от того, какая классификация нас интересует — гладкая или топологическая. Если функция вращения устроена достаточно хорошо (см. выше), то ее класс сопряженности может быть полностью описан с помощью введенного выше вектора вращения. Заметим, однако, что в этом шаге присутствует некоторая неоднозначность в выборе базиса на торах Лиувилля, поэтому нас ждет некоторая необходимая процедура устранения этой неоднозначности. Процедура нужна, чтобы при сравнении двух различных систем мы хорошо представляли, какие именно функции вращения нам следует сравнивать и проверять на сопряженность. Тем не менее мы можем считать, что «реберные инварианты» в принципе уже описаны.
Шаг 3. «Атомные инварианты». Согласно теореме о редукции, вместо системы на 3-атоме U(L) нам достаточно рассмотреть некоторое трансверсальное сечение Ptr в U(L) и описать инварианты соответствующей редуцированной системы с одной степенью свободы на ней, т.е. потока Пуанкаре. Однако, за
Траекторная классификация. Первый шаг
231
понижение числа степеней свободы мы вынуждены заплатить переходом от траекторной классификации к классификации с точностью до сопряжений. Итак, траекторные «атомные инварианты» совпадают с инвариантами редуцированной гамильтоновой системы с одной степенью свободы, рассматриваемой с точностью до сопряженности. Отметим, что пока нам не известен даже характер этих инвариантов. Их описанию будет посвящена следующая глава.
