Теплотехника - Чечеткин А.В.
Скачать (прямая ссылка):
а = Ст/С0 = ДЯТ/ДЯ, (2.181)
где Сх и С0 — концентрации исходного соединения к моменту т и в начале реакции; АЯТ, АЯ — количество теплоты, выделенное (поглощенное) к моменту х реакции, и тепловой эффект реакции.
Уравнение кинетики химической реакции п-го порядка часто записывается в виде
а = 1 - е~^, (2.182)
где к — константа скорости реакции; п = е + 1 - эффективный порядок-реакции; т — время реакции.
Количество теплоты, выделяющееся за интервал времени реакции х, может быть определено из соотношения
158
Д#т = fQ qv dx
(2.183)
и согласно (2.183)
d (АЯТ)
dx
dt
[АЯ(1 - e-h'?l)].
(2.184)
Дифференцируя (2.184), получаем выражение мощности внутренних источников теплоты дс от времени в виде экспоненциальной зависимости
си, = Чо^'е-^'", (2.385)
где у о = & (е 4- 1) АН — величина, постоянная для данной химической реакции, равная произведению константы скорости реакции, теплового эффекта реакции и п = е + 1 — величины эффективного порядка реакции.
Дифференциальное уравнение теплопроводности для пластины с учетом (2.185) имеет вид
а-— + J.--
дх дхл
ср
(2.186)
Для реакции первого порядка и = 1 и е = 0. В этом случае уравнение теплопроводности будет
дх
= а
д2& , q0e
-кг
+
ср
(2.187)
где Цо = к АН.
Решение уравнения (2.187) для неограниченной пластины, имеющей начальную температуру гж, полученное методом интегрального преобразования Лапласа, имеет следующий вид:
t (х, х) - гж
3± ср
и = 1
e-Fo(Kt - »i) _ i
T/i kR2 . 2 sin |X„
где Kt ~--кинетическое число; A„ = -:-:-
а ц„ + sin |i„ cos u„
(2.188)
; ц„ - корни
уравнения ctg цп = —-.
Для центра пластины х — 0 уравнение после некоторых преобразований может быть представлено в форме
ДНЮ V e~KtFo - е-№ tu ¦— Гж--—— / Ап
ср ?_j и = 1
ц„ — Kt
(2.189)
_ АН . Гц — гж
Обозначим -¦ = Дг „„ а отношение
ср " Агис
температурой 0(0, т). Тогда уравнение (2.189) примет вид
выразим безразмерной
159
(2.190)
Ряд (2.190) быстро сходящийся и для расчета 9(0, т) при Го ^ 0,25 с достаточной точностью можно воспользоваться первым членом ряда. В этом случае
6 (0, т) = Kt 2sin рх
Ai
,KtFo _ л-HiFo
(2.191)
где At = -
Pi + sin Pi COS Hi
Как видно из уравнения (2.191), температура в химических системах зависит не только от чисел Fo и Bi, но также и кинетических характеристик химического процесса. При Bi -> со температура поверхности пластины становится практически равной температуре греющей среды и тогда решение уравнения (2.187) в форме At = гц - г„ =/(т) будет уравнением дифференциальной термограммы (рис. 2.24, кривая б).
На анализе термограмм основаны количественные методы термографии — определение термодинамических и кинетических характеристик химических процессов и фазовых переходов: теплового эффекта, мощности внутренних источников теплоты, констант скоростей эффективного порядка реакции и пр.
В самом деле, вернемся еще раз к дифференциальному уравнению теплопроводности с внутренними источниками теплоты:
JIL-а^-+ — дх дх2 ср
Решим уравнение относительно qv:
qv = ср d2t дх2
(2.192)
Из уравнения (2.192) видно, что мощность внутренних источников теплоты может быть выражена алгебраической суммой аккумулирований теплоты и теплоты, переданной теплопроводностью [см. уравнение (2.20)]:
9» = 9ак + 9л- (2.193)
При параболическом распределении температуры по толщине пластины ^ (х, т) = г (0, х) + Дг (х/6)2 среднюю температуру можно выразить
Гер —
t dx = t (0, т)
At_
Т
где At — t (0, т) — г (5, т) = гц — Гп — температурный перепад в пластине центром и поверхностью.
В этом случае % будет равно
х
t (0, т) - At
21
At.
дх2 82
Мощность внутренних источников теплоты выразится:
(2.194) между
(2.195)
160
5 Сер 2Х
4« = ср —— + — Дс. дх Ъ1
Вернемся к уравнению (2.188) для центра пластины в форме:
*~ е~к' + ц2Го^
Ас
= ГЦ-ГП= Зі.уАпЄ-^с
а
Ил -5Г - ^
(2.196)
(2.197)
Вынесем хе~кх и 1/Ро за знак суммы, тогда получим
- - У Л, _ _1 V л„ ,(2Л,8,
откуда
_ 2^
УЕ(К1-Ц„2)Го _ ! Л»
|_ п= 1
(2.199)
Ограничиваясь первым членом ряда, получим
1
2Лх
Е(К1 - ці) Го _ 1
(2.200)
Сравнивая формулу (2.195) и аналитическое решение уравнения теплопроводности (2.200), можно сделать заключение, что выражение в скобках (2.200) отражает влияние слагаемого с]ж в (2.193). Значение величины д.лк существенно только при расчете кинетики тепловыделений, но может не учитываться при расчете теплового эффекта реакции. В самом деле, тепловой эффект химической реакции может быть рассчитан интегрированием по формуле
ч-сум = - АЯ = Яе йх = 4* (хп - то), (2.201)
где т0 и х„ — начальное и конечное время химического процесса. Подставим значение ц0 (2.193) в формулу (2.201) и получим
ч-сум = Г;„ (4ак + ел) = ? дак с1т + дх дх = ср (^ - С^) + Ас йх, (2.202)
где и с?р — средние температуры образца в .начале и конце химической реакции.
При постоянной температуре греющей среды Гж (термостата) обе они равны Сж. В этом случае |т" дак равен нулю и тепловой эффект реакции может быть рассчитан через по данным термографирования:
