Теплотехника - Чечеткин А.В.
Скачать (прямая ссылка):
кЬ кЬ_
ctg(/c5)
(а5)А
Введем обозначением ц. = /с5 и тогда
ctg(p) = u/Bi.
(2.142)
(2.143)
Из анализа характеристического трансцендентного уравнения (2.143) видно, что р имеет бесчисленное множество значений. Уравнение (2.143) наиболее просто решается графическим путем (рис. 2.13). Обозначим сг?ц = уь а \ifBi = у2 и построим графики этих функций. Первый график представляет собой котангенсоиду, являющуюся периодической функцией аргумента и. с периодом тс. Второй график — прямую, тангенс угла наклона которой к абсциссе равен 1/Вь Абсциссы точек пересечения этих графиков дают значения корней р уравнения (2.143).
Как видно из рис. 2.13, уравнение (2.143) имеет бесчисленное множество корней р„ (и = 1, 2, 3,...), удовлетворяющих уравнению (2.134) и граничному условию (б). Из уравнения (2.143) следует также, что значения р,„ которые называются собственными числами, зависят от порядкового номера п и числа Био.
При В1 = 0 прямая у2 — \xjBi совпадает с осью ординат, тогда М-1 == 0; р2 = л;... ;ц„ = (п — 1)тс.
При В1 -> со прямая у2 = ц/В1 совпадает с осью абсцисс, тогда корни уравнения (2.143) будут равны щ = тс/2, ц2 = Зтс/2,..., р„ = (2п - 1) тс/2.
Для других значений критерия В1 первые три корня характеристического уравнения (2.143) приведены ниже:
Bi....... 0 0,01 0,1 1,0
ui....... 0,000 0,0998 0,3111 0,8603
ц2....... 3,1416 3,1448 3,1731 3,4256 4,3058 4,6543
Из....... 6,2832 6,2848 6,2991 6,4373 7,2281 7,7573
Метод разделения переменных позволяет получить совокупность частных решений д,„ удовлетворяющих дифференциальному уравнению теплопроводности и граничным условиям. Каждому значению корня рп соответствует частное распределение температуры. Сумма частных решений является общим решением уравнения теплопроводности
10 80 100 оо
1,4289 1,5514 1,5552 1,5708
4,6658 4,7124 7,7764 7,8540
&(х, т)= ? C„cos(^i„gJe
(2.144)
Значения констант С„ опреде
Рис. 2.13. Графический способ определения корней характеристического уравнения
145
ляются из начальных условий. При Fo = О (т = 0) получаем
Э0 = Э(х,0) = | C„cos{v^-j^ (2.145)
Воспользуемся свойством ортогональности тригонометрической функции. Для этого (2.145) умножим на cos (цтх) и проинтегрируем в пределах — 8 ^ х < 8:
|! & cos (uwx) dx = Yj C„ f _ . cos (uw.\) cos (ц„.\) dx.
n= 1 6
Свойство ортогональности в нашем случае может быть записано в виде
f_scos(^x)cos(M<b: = |^cosJ(Mdlc l^J- (2.146) Для т = п интеграл (2.146) равен
.5
,2/.. Х\._5.[. , 8Ш2ЦП
-а
cos2( у.п~ dx = 5(1 +
5 J V 2ц„
и C„ из (2.145) получает вид
30 cosf p„y)dx % ^Lsm Ци J8 cos^ti.-ijd^ «(l
-»>¦¦ J?**. (2.147)
sin 2u.„\ u„ + sin |in cos |i„
+¦
2|x„
-5 V / *
Подставив найденные значения C„ в уравнение (2.144), получим окончательное решение для симметрично охлаждаемой однородной пластины
00 1
- У Оо-^=-cos (ц* V (2.148)
U„ + ЯП U„ COS Щ \ 8/
и= 1
или в безразмерной форме
a t (х, т) - г„
со
cos (ц* у) е~ ^Fo, (2.149)
п = 1
где Лп = 2 sin ДлДи,, 4- sin U„ COS ц„).
Решение (2.149) действительно и для случая прогревания пластины,
только необходимо положить
д _ 1 А _ И*, l)-t0
"нагр — 1 ~ "охл--Т Т •
Так как cos (u„x/8) — величина ограниченная, а ехр( —u2Fo) — величина быстро убывающая, то, как показывает анализ уравнения
146
(2.149), при Ро ^ 0,25 ряд становится быстро сходящимся и может быть заменен с достаточной точностью первым членом.
В этом случае распределение температуры в пластине может быть получено из уравнения
0 = Л1 соэ ехр (- ц2Ро). (2.150)
Область вырождения функции (2.149) в (2.150) называют регулярным тепловым режимом.
При заданных координатах х искомая температура 9 есть функция только критериев В1 и Ро:
О = /(В1, Ро). (2.151)
Для практических расчетов температуры в центре и на поверхности пластины обычно пользуются номограммами, приведенными на рис. 2.14 и 2.15. Пользуясь номограммами, можно:
определить время охлаждения Ро = (ат)/82 (нагревания) до заданной температуры Эх=й или 0Л=О по известным условиям теплоотдачи на поверхностях;
определить температуру через заданное время;
определить интенсивность теплоотдачи на поверхностях при заданных Ро и 9.
При В1 -> со температура поверхности пластины становится равной температуре охлаждающей (нагревающей) среды, граничные условия третьего рода переходят в граничные условия первого рода. Как показывают расчеты, таким свойством обладает поле при В1 ^ 100. Тогда ц„ = (2/г - 1) тс/2 и коэффициент А„ в уравнении (2.149) равен
При п = 1 Ах = 4/тс, при п = 2 А2 = — 4/(Зтс),— Если ограничиться первым членом, то безразмерная температура оси пластины
4
Решая относительно времени, получим
4O2 1 , ( 1 4 х = —5--m
Безразмерная температура поверхности 0X=S = 0.
При Bi -»¦ 0, когда внутреннее термическое сопротивление мало по сравнению с термическим сопротивлением на поверхности, температуры по толщине пластины распределяются равномерно. Как следует из характеристического уравнения (2.142), u„ = (п — 1) тс, а величина
