Теплотехника - Чечеткин А.В.
Скачать (прямая ссылка):
141
Рассмотрим некоторые простейшие задачи нестационарной теплопроводности. На этих примерах рассмотрим физические особенности процессов, методы решения задач нестационарной теплопроводности, а также возможности практического использования полученных решений.
Аналитическое описание процесса включает в себя дифференциальное уравнение теплопроводности и условия однозначности. Для одномерных тел дифференциальное уравнение теплопроводности может быть представлено в следующем виде [см. уравнение (2.79)]:
где г — текущая координата; Г — постоянное число: для пластины Г = 0 (г — х), для цилиндра Г — 1 (г = г); для шара Г — 2 (г = г).
Количество теплоты выделенное в единице объема за единицу времени, может быть в первом приближении принято постоянным и равномерно распределенным, как в электронагревательных элементах, или зависящим от времени, как в химических процессах.
При отсутствии внутренних источников теплоты уравнение упро-
(2.132)
щается:
(2.133)
Физические параметры тела X., с, р будем считать постоянными, а начальное распределение температуры равномерным.
Рис. 2.11. Термограммы прогрева образца: простые (а); дифференциальные (б); теплота, затраченная на про-
Рис. 2.12. Распределение температуры в неограниченной пластине при нестационарной теплопроводности
грев образца (в)
142
Решение задачи нестационарной теплопроводности сводится к определению зависимости температуры и переданного количества теплоты от времени для любой точки тела.
Охлаждение (нагревание) пластин ы. Г р а н и ч н ы е условия третьего рода. Дана неограниченная пластина толщиной 28 (рис. 2.12). В начальный момент времени (т = 0) температура в пластине распределена равномерно и равна г0. Пластина помещена в среду с постоянной температурой гж < t0. Теплообмен на обеих поверхностях пластины происходит при постоянных коэффициентах теплоотдачи а = const. Требуется найти распределение температуры в пластине t = t (.х, т).
При поставленных условиях распределение температуры по толщине пластины должно быть симметричным dt (0, х)/дх — 0, а искомая функция t (х, х) должна быть четной функцией координаты х. Пластина сделана из однородного и изотропного материала с постоянными теплофизическими характеристиками.
Математическую формулировку задачи можно упростить, если ввести избыточную температуру # = t — гж. Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности (2.133) для пластины при Г — 0 можно записать
дх дх
«СТ- (2.134)
Краевые условия:
начальные условия при т = 0 3(х, 0) = $0; (а)
~ {д§\ ос А
граничные условия при х = 8 1—1 = —— (б)
\ ОХ/х=й А.
условие симметрии при х = 0 (~-) = 0. (в)
\ ох/х=о
Найдем функцию 3(х, т) распределения температуры в пластине в любой момент времени процесса охлаждения (нагревания). С этой целью используем простой и достаточно универсальный метод разделения переменных. Будем искать решение уравнения (2.134) в виде произведения двух функций, одна из которых ф(х) зависит только от пространственной координаты, другая/(т) зависит только от времени:
Э(х, т) = ф(х)/(т). (2.135)
Подставляя выражение для 9 в уравнение теплопроводности (2.134) и разделяя переменные, получим
1 еит „д 1 а2[Ф(*)]
/ (т) дх ф(х) дх2
Левая часть этого уравнения зависит только от х, а правая — только от х. Известно, что две функции от двух разных и не зависящих друг от друга аргументов могут быть равны при любых значениях последних только в том случае, если они постоянны. Величина эта является отрицательной и обозначается к2. Тогда получим два дифференциальных уравнения:
143
_l_d[/fr}] ==_ak2 (2Д36)
/00 dx ' к '
d'^)]- + ^W-u (2.137)
dx
Уравнение (2.136) решается разделением переменных
После интегрирования этого уравнения получим In [/(х)] = -ахк2 +lnCi и общее решение будет
/(х) = de-^. (2.138)
Из уравнения (2.138) видно, что знак постоянной величины к2 выбран правильно, так как при значении х -> со температурная функция Ях)->0, что соответствует физическому смыслу. В противоположном случае, при положительном значении к2 при х->со, /(х)->со, т.е. приводит к нереальному результату.
Общее решение (2.137) имеет вид
Ф (х) = С 2 cos (кх) + С3 sin (кх). (2.139)
Подставляя выражения <р(х) и / (х) в уравнение (2.135), получим
& = [С2 cos (be) + С3 sin (be)] Схе~ак1\
или, обозначая СХС2 = С и CiC3 = D:
& = [С cos (be) + Z) sin (foe)] e~akh.
Постоянные С, D и к определяются из начальных и граничных условий (а), (б), (в). Постоянная D определяется из условий симметрии (в):
Т~ I = [ - С к sin кх + Dk cos (кх)] е " ак \ (2.140)
Так как к Ф 0 (стенка охлаждается или нагревается), к cos (кх) ф 0 при х = 0, то постоянная D должна быть равна нулю. Таким образом,
$ = О-"^ cos (be). (2.141)
Собственные значения к = к„ найдем, используя граничные условия (б). На левой поверхности пластины х = — 5; подставляя в (б) решение (2.140) и (2.141), получим
Ске~акЧ sin (kb) = -^Ce-',k2'cos(kb),
А
или, сокращая, получим
ctg(/c5) = (U)/a.
144
Умножив числитель и знаменатель на 6, получим
