Теплотехника - Чечеткин А.В.
Скачать (прямая ссылка):
dr г г
(2.115)
Определим постоянные интегрирования из граничных условий
138
г і г2 п г2
Подставляя значения постоянных в (2.115), получаем выражение для температурного поля в сферической стенке
»"1 *г
Из формул (2.115) и (2.116) видно, что температура г (г) изменяется по формуле гиперболы. Тепловой поток найдем, подставив градиент температуры сіг/сіг в уравнение закона Фурье при площади изотермической поверхности F = 4тсr2:
л* \
е== х К 1 (Гс-^)4я. (2.117)
гі г2
При граничных условиях третьего рода уравнение теплопередачи будет
б- *<^А_-, (2.118)
^ 1 1/1 1 \ 1 * '
+
ахс!1 2А, \flfi й2) а2(12
где 1г, 12 — температуры теплоносителей; а! и а2 — коэффициенты теплоотдачи на внутренней и наружной поверхностях шара; <2Ь й2 — диаметры.
Для сферической стенки тепловой поток может быть рассчитан по формуле, аналогичной для расчета теплового потока в плоской стенке. Преобразуем (2.117):
б = Х -ус - ?'с)4тс = -^^-Л?4гс.
11 Г2 — Г1
Обозначая 8 = г2 — гь гср = |/г7г^ и FCp = 4кгсР, получаем расчетную формулу в виде
е = ~Д^ср. (2.119)
Уравнение теплопроводности для многослойной сферической стенки может быть получено аналогичным образом, как оно получено для плоской и цилиндрической стенок. Опуская громоздкие выкладки, напишем расчетную формулу в виде
* " 1 1*1+1 ~ Г,
V
ГіГі+і
139
где rt и ri+i,— меньший и больший радиусы i-ro слоя шаровой стенки.
Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты. Процессы теплопроводности в химических системах осложняются действием экзотермических или эндотермических эффектов, при которых теплота выделяется или поглощается во всем реакционном объеме. К этому классу задач относятся также системы с фазовыми превращениями, а также процессы, связанные с индукционным или диэлектрическим нагревом.
При наличии источников теплоты постоянной мощности qv (Вт/м3) решение задач одномерного температурного поля сводится к решению дифференциального уравнения (2.71):
<?+f?)+*-a <»*>
Опуская громоздкие выкладки, не представляющие собой математической трудности, приведем окончательные результаты решения уравнения (2.121).
Для пластины толщиной 2R при граничных условиях третьего рода а = const и tx = const при симметричном охлаждении и постоянной теплопроводности X решение будет:
tr = tx+^ + -^-(R2-r2). (2.122)
Для цилиндра радиусом R
~2ос 'АХ
tr = tx + ^ + ^-(R2-r2). (2.123)
Для шара радиусом Л
Общее решение задачи одномерного температурного поля в критериальной форме может быть записано в следующем виде:
= і_Ро( 1 - А\ (2.125)
и п \ Я Ві /' * '
где Ро = (qDR2)/(Xtx) - критерий Померанцева; Bi = (aR)/X - критерий Био; п — постоянное число: для пластины п = 2, для цилиндра п — 4, для шара п = 6.
При Bi -» со граничные условия третьего рода вырождаются в граничные условия первого рода tc = tx = const. В этом случае общее решение будет:
-Wl - ?\ (2.126)
tc п \ R' или
tr = tc + — ^-(R2 - г2). (2.127)
140
Уравнение (2.127) показывает, что распределение температуры в пластине, цилиндре и шаре при наличии равномерно распределенных внутренних источников теплоты постоянной мощности подчиняется параболическому закону.
Как следует из уравнения (2.127), мощность внутренних источников теплоты может быть определена по разности температур на поверхности тела и любой точки тела Д? = гг — (с:
пХ А* /(, 1
при г = О температура в центре равна гц. В этом случае величина (д„Л2)/(пА.) имеет смысл полного перепада температур в теле:
,Ц_,С = М1 (2.129)
Мощность внутренних источников в этом случае может быть определена из соотношения
пХ
я3
<7»= тл-Сд-^ (2ЛЗ°)
которое для пластины, например, имеет вид
2Х
Я» = ^г(«ц-Сс). (2.131)
Нестационарная теплопроводность. В химической технологии нестационарная теплопроводность связана с прогревом или охлаждением материала и оборудования при запуске, остановке или изменении технологического режима процесса. Особый интерес представляет анализ нестационарной теплопроводности в тех случаях, когда химический процесс сопровождается экзотермическим или эндотермическим эффектом. В этом случае расчет теплопроводности с учетом внутренних источников теплоты позволяет получить важные кинетические и термодинамические характеристики химического процесса.
На рис. 2.11, а показаны кривые изменения температуры тела в процессе его нагревания. При погружении тела в среду теплоносителя с постоянной температурой ?ж сначала прогревается поверхность тела г„, а спустя какое-то время начинает изменяться температура центра Гц. С увеличением времени прогрева температуры в теле выравниваются и при х -» со становятся равными температуре греющей жидкости. На рис. 2.11,6 показана дифференциальная термограмма этого процесса А? = / (х), где Ае = гп — Гц. Максимальная разность температур поверхности и центра соответствует времени ть а затем уменьшается и при х -»со стремится к нулю, когда тело полностью прогрето. Характер изменения теплового потока, поступающего в тело при его нагревании, показан на рис. 2.11, е. В начале процесса прогрева 0. велико, а затем уменьшается. Площадь, ограниченная осью абсцисс и кривой б = / (х), соответствует полному количеству теплоты, поступившему в тело за время х. Теплота ? идет на повышение энтальпии тела.
