Теплотехника - Чечеткин А.В.
Скачать (прямая ссылка):
(Ки К2, Х,) = 0 (2.62)
Вторая теорема подобия позволяет сократить число переменных в задачах теплообмена и тем самым существенно упростить их решение. В самом деле, как следует из дифференциальных уравнений теплообмена, коэффициент теплоотдачи есть сложная функция большого числа переменных:
« = Тж, Тс, X, Ср, р, р,/, р\...). В критериальной форме эта зависимость может быть представлена
126
уравнением, в котором число переменных значительно меньше
N11 =/(Ке, Сг, Рг).
Для вынужденного движения, как будет показано ниже, N11 = = /(Ке, Рг), для естественной конвекции Ки =/(Сг, Рг).
Для газа эти зависимости упрощаются и соответственно имеют вид N11 = ДИе), №1 = / (вг).
В задачах нестационарной теплопроводности в твердом теле температура определяется уравнением
Т=/(к, с, р, /, х, а).
В безразмерном виде число переменных сокращается до двух:
0 = /(Ро, В1).
Если вид функции уравнения (2.62) найден для частного случая, то полученный результат распространяется на бесчисленное множество подобных явлений.
Третья теорема подобия формулируется так: подобны те явления, которые имеют подобные условия однозначности и одинаковые определяющие критерии.
Теорема позволяет установить группу явлений, подобных изучаемому образцу, и заключается в установлении условий, необходимых и достаточных для того, чтобы другие явления были подобны первому. Третью теорему, установленную М. В. Кирпичевым и А. А. Гухманом, иногда называют обратной, в отличие от первой, прямой. Содержание этой теоремУ лежит в основе моделирования — метода экспериментального изучения модели явления.
§ 2.4. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Определение переноса теплоты теплопроводностью было дано в § 2.1. Далее даны основные аналитические соотношения процесса теплопроводности.
Дифференциальные уравнения теплопроводности. Теория теплопроводности является феноменологической теорией, она не рассматривает механизм процесса распространения теплоты, а ограничивается описанием этого процесса на основе закона сохранения энергии и закона Фурье.
Дифференциальное уравнение энергии для твердого тела, как было показано выше, принимает вид (2.23):
4=^ + ^4 (2.63)
дх ср
д21 52? ()21
где У2Г = —г + -^т + - выражение оператора Лапласа в декар-дх* ду 02
товой системе координат; а - коэффициент температуропроводности,
м2/с.
Если в , теле отсутствуют источники теплоты д„ = 0, то
127
г(х, у, г, х) удовлетворяет дифференциальному уравнению Фурье:
8фх = аУ21. (2.64)
При стационарной теплопроводности дг/дт = 0 и г (х, у, г) должно удовлетворять уравнению Лапласа
У2? = 0. (2.65)
При стационарном тепловом режиме и наличии внутренних источников теплоты температурное поле описывается уравнением Пуассона
у2Г+^-=0. (2.66) А,
Для одномерного температурного поля, когда температура изменяется только вдоль оси х, уравнение (2.63) принимает вид
д1 д21 а„ дх дх ср
= а~^т + ~. (2.67)
= «(^Х+- —)+ ~. (2-69)
В цилиндрической системе координат, когда температура изменяется только по направлению радиуса г, уравнение одномерной теплопроводности будет
_=д( _+___ + 2.68
5т \ дг г дг) ср
В сферической системе координат
дх \ дг2 г дг ) ср Уравнения (2.67) — (2.69) могут быть представлены в общей форме Ы ( д2Ь Г дЛ ак
где г — текущая координата; Г — постоянное число, равное для пластины Г = 0 (г = х), для цилиндра Г = 1 (г = г) и для шара Г = 2 (г = >•).
Для стационарного температурного поля уравнение (2.70) принимает вид
аг* г аг) ср
или
d2t Г_ dt dr2 г dr
Х+ ) + ^-0. (2.71)
Дифференциальные уравнения теплопроводности отражают общий характер процесса, каждое из приведенных уравнений имеет множество решений. Для получения решения, соответствующего конкретной единичной задаче, необходимо задание условий однозначности. В условие однозначности входят геометрические условия, физические параметры материала, начальные условия и граничные условия. Условия однозначности содержат описание всех частных особенностей процесса,
128
которые выделяют единичное явление из всего класса явлений теплопроводности. Геометрические условия определяют форму и размеры тела, в котором протекает процесс.
Физические условия определяют числовые значения всех физических параметров тела, входящих в дифференциальные уравнения теплопроводности и граничные условия. При решении задач с внутренними источниками теплоты физические условия характеризуют также знак и распределение величины
Временные условия или начальные условия определяют температурное поле (распределение температур) в начальный момент времени и заключаются в том, что для начального момента времени т0 должна быть известна функция г (х, у, г, т0).
Граничные условия определяют особенности протекания процесса на границах тела и могут быть заданы следующим образом.
Граничное условие первого рода состоит в задании распределения температуры на поверхности тела в виде функции
Функция задана в некотором интервале времени, в течение которого изучается процесс. В частном случае, когда температура поверхности постоянна, то гс = const. Этот случай может наблюдаться при интенсивном теплообмене со средой (например, при кипении или конденсации на поверхности тела), тогда температура поверхности tc может быть принята равной температуре среды гж.
