Теплотехника - Чечеткин А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Значения констант подобия С показывают, во сколько раз физические величины одной системы (явления) отличаются от тех же величии другой системы (явления). Константы подобия Cw, Ср и С, для подобных систем сохраняют одно и то же значение Cw = idem, Ср = idem и С[ = idem в сходственные моменты времени. Два промежутка времени х" и х' называются сходственными, если они имеют общее начало отсчета и связаны равенством х'{/х\ = Сх = idem.
121
Для явлений, физическая природа которых сложна и определяется многими параметрами, константы подобия этих параметров находятся между собой в определенных соотношениях и не могут быть выбраны произвольно. В этом случае, кроме постоянства отношений однородных величин, имеются еще дополнительные условия. Рассмотрим эти условия на частных примерах.
Выпишем уравнения энергии (2.22) и движения (2.35) несжимаемой жидкости, полагая, что величины а, с, р, V остаются постоянными.
Уравнение энергии
дх дх у ду дг ср 4
Уравнение движения в проекции на ось
д\\'х дъ'х д)л>х „ 1 др , „о
1Г + "аГ + 1Г " я*т) ~ 7 * " "' <2'4''
Уравнение теплообмена на границе с теплообменной поверхностью
аАг=-^—. (2.42)
Рассмотрим подобие двух систем, описываемых уравнениями (2.40), (2.41) и (2.42). Эти системы должны удовлетворять трем условиям подобия:
1) явления относятся к одному и тому же роду, качественно одинаковы и описываются тождественными уравнениями;
2) процессы протекают в геометрически подобных системах;
3) величины, характеризующие подобие явлений, подобны, т. е. в сходственных точках и в сходственные моменты времени однородные величины ф" одной системы и ф' другой системы пропорциональны — связаны константой подобия (преобразованием подобия) Ф" = С9Ф'.
Обозначим величины, входящие в дифференциальные уравнения первой системы, одним штрихом, второй системы — двумя штрихами. Тогда уравнения для первой системы будут:
уравнение энергии \
дх дх у ду дг срр
уравнение движения
дм'х . дъх . ду>'х . дц/'х . _.п, 1 др' ,
дх дх у ду дг р дх
уравнение теплообмена
л , д?
дх
и для второй системы соответственно: 122
(а)
д\\>" . „ с\\>х
с л
ду" ""' д
<?т гх <3у & п Лл"
а"Дг" = -Г
р" ах"
а*"
(б)
ах"'
В соответствии со вторым условием подобия однородные величины должны быть подобны, т. е.
/ т w / а р
// р' р' V' у' V
Сх и т. д.
Выразим переменные второй системы через переменные первой и подставим в уравнения (б). При такой замене уравнения второй системы получим в следующем виде:
С, дГ СН,С, ( , сч' , 31' , дГ
+ _ н, + уу + н, —
Ст ох С, \ дх ¦ л"
г
ау 1 "8 а/; с,2
р*- с ' рР
дг'
= сйСрСэ#;.рт -
1 др'
СРС| р' дх
т +
С с
7
(в)
Для подобных систем уравнения должны быть тождественны. На этом основании уравнения первой системы (а) должны быть тождественны уравнениям (в) второй системы. Для этого необходимо, чтобы комплексы из констант подобия в уравнениях (в) сократились, т. е. должны быть равенства
С г _ СЦ!С( _ СаС{ Сд _
Ст С/ С2 СрСс
= С3СРС9 = = ; (2.44)
с
~с7
(2.43)
(2.45)
Уравнения (2.43)—(2.45) — это и есть искомые условия подобия, которыми ограничивается произвольный выбор констант подобия. Рассматривая члены соотношения (2.43) попарно, получим
}„=«±^ или = 1; (2.46)
123
г = -7^-» или -7г-=1; (2-47)
^-4, или ffi ~ 1. (2.48)
Из соотношения (2.44)
-^=-^4 или 1; (2-49)
^--СЛС. «ли 1; (2.50)
с2 с с
или
PT=U (2.51)
4i= °?w; или -%Я=1. (2.52)
С; С; Cv
Из граничных условий (2.45) получим равенство
(СяСд/Сх = 1. (2.53)
Подставим в уравнения (2.44) - (2.53) значения констант подобия, все величины сгруппируем по индексам и получим условия подобия двух систем в новом выражении:
а'х' а"Х" ах л? -л <~> ил\
Jjiy = Tjip или -7r=Fo = idem; (2.54) xv'I' w"l" wl
—— = ——, или — = Ре = idem; (2.55) а а а
<гл'2г лгг или _^ = ^Po = idem; (2.56)
a'p'c'pAt' а'''р'''с'р At"' opcr At XAt
w'x' w'V H't
или —г-= Но = idem; (2.57)
/' [" ' /
А'Р'Э'Г д"\Ъ'Ъ"[" д\ЪЫ
Г 2ч/ = ; 2х,/ > или —=r- = idem; (2.58)
(vvz) (vv ) vvz
f = f или —^-5- = Eu = idem; (2.59)
p (vv2)' p (vv2) pvv2
—— =——, или —= Re = idem; (2.60)
v v v
Уравнения (2.54) —(2.61) иллюстрируют основное свойство подобных между собой систем — существование особых комплексов неоднородных величин, называемых критериями подобия. Критерии подобия для всех подобных между собой процессов сохраняют одно и то же числовое значение. Нулевая размерность является основным свойством критериев подобия.
124
Критерии подобия принято называть именами выдающихся ученых. Так, критерий Fo называют критерием Фурье, Ре — критерий Пекле, Ро - критерий Померанцева, Ей — критерий Эйлера, Re — критерий Рейнольдса, Nu - критерий Нуссельта.
