Теплотехника - Чечеткин А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Как было показано в первой главе, внутренняя энергия связана с энтальпией соотношением к — и + ри.
Тогда
6и = с!й - с1(ри) = dk - = dk~-~ + р~2рар. (2.14)
В процессе теплообмена работой Ь внешних сил можно пренебречь. Определим <3- Для этого с помощью контрольной поверхности выделим в теле произвольный объем V и тепловое воздействие части тела за пределами этого объема заменим некоторым распределением вектора д по поверхности Г объема.
Уравнение теплового баланса этого объема, отнесенное к единице времени, можно записать
+ = 1ч,Щ (2.15)
V Р V
где с\а — мощность внутренних источников теплоты, Вт/м3.
В соответствии с теоремой Гаусса — Остроградского между потоком вектора через поверхность Г, ограничивающую объем УУ и дивергенцией вектора существует связь
SqdF = $divqdK ^ V
Подставим это выражение в уравнение (2.15)
V V V
откуда
Q = qv-d\vq. (2.16)
Подставим найденное выражение <2 (2.16) и du (2.14) в уравнение первого закона термодинамики (2.13):
д„ - ймд = р—---+ + Р \ у , 2.17)
ск ск р ск с!т
где
116
ддх дд]> дд„ дх ду ог
Считая в соответствии с законом Фурье
, дС Ы дЬ
получим при постоянной теплопроводности
д21 дгг дН дх2 ду2 дг2
д2г дН ёН дх2 + ду2 + дг: Уравнение (2.17) с учетом полученного выражения сИуд будет:
где У2? = -^-у 4- -т-у + "Т~2" ~ оператор Лапласа.
*ПУ«.р?-4+4+р-^. (2-18)
ёт с1т ре? с1т
В условиях теплообмена при умеренных скоростях теплоносителя кинетической энергией и изменением давления можно пренебречь. Тогда, считая плотность среды постоянной, получим дифференциальное уравнение энергии в следующем виде:
с\1г
сЬ + ХЧ21 = р—. (2.19)
Подставим ёЛ = срс\(, тогда получим уравнение энергии в виде
</„ + ХУ21 = рср ~, или У2Г + (2.20)
' ёт ёт рср
где я = Х/рср — коэффициент температуропроводности, м2/с.
Величина а, так же как X, ср и р, является физической константой вещества и характеризует скорость изменения температуры. Например, как видно из уравнения (2.20), при отсутствии внутренних источников теплоты ди = 0, скорость изменения температуры зависит только от коэффициента температуропроводности. Выравнивание температур в теле будет достигаться тем быстрее, чем выше значение а.
Полная производная температуры по времени равна
<\( 5г Ы дх ду Ы дг Ы Ы Ы Ы
ёт дх дх дх ду дх ог дх дх дх > ду дг
(2.21)
дх „
Частная производная —- называется локальной производной темпе-дх
дх
ратуры, а величина и\.----\- \\>х,——I- и'„-=--конвективной производ-
' дх ду ' дг
ной. Так как производная связана с движущейся средой (субстанцией), ее называют субстанциональной производной и обозначают
ёт '
Уравнение, энергии (2.20) при этом будет
117
ах ох ох у ду ~ дг рср
Для твердого тела \мх = юу = = 0 и конвективной составляющей субстанциональной производной можно пренебречь, тогда при ср — с уравнение (2.22) принимает вид:
дх
рс
(2.23)
При отсутствии внутренних источников теплоты уравнение (2.23) упрощается и принимает вид
— = аУН. дх
(2.24)
Уравнения (2.23) и (2.24) называются дифференциальными уравнениями теплопроводности.
Уравнение движения. В гидродинамике для вывода основного уравнения движения жидкости используется второй закон механики Ньютона: масса х ускорение = сумме сил, действующих на тело.
Выделим из потока жидкости элементарный объем с1К = а\хс1}>с1г. Масса его равна ра"К, где р — плотность жидкости.
В общем случае на элемент йУ действуют следующие силы: сила тяжести, сила давления (обусловленная распределением давления вокруг элемента дУ) и сила трения (обусловленная вязкостью жидкости). Найдем проекции этих сил на ось л- (рис. 2.3):
сила тяжести
Pfif.dK; (2.25)
равнодействующая сил давления
р^йз - ( р + ~-йх\dvdz = - ~ дх I ' дх
6У;
равнодействующая сил трения
5 + ~dy)dxdz - Sdxdz = ~dV.
ду ] ду
(2.26)
(2.27)
Выразим 5 по закону трения Ньютона 5 = ц дм'х/3у и принимая и, — динамическую вязкость, Н • с/м2, постоянной, получим
дБ ^------_ ... (2>28)
АУ=11^к.
dУ.
Рис. 2.3. К выводу уравнения движения
су ' ~ду'
Теперь подставим найденные силы в формулу второго закона механики Ньютона, сократим на dУ и получим выражение
Оыг др , <32и>.
ду1
(2.29)
118
В неизотермических условиях необходимо ввести поправку на подъемные силы, возникающие вследствие разности плотностей горячих и холодных частей жидкости. Выразим зависимость плотности жидкости от температуры через коэффициент объемного расширения 0 = = (Ро — р)/[Ро (* — ?(>)]> и считая (5 постоянным, получим равнодействующую сил тяжести в следующем виде:
99 х = Ро [1 - Р (* - 'о)] 9х = Ро9х - РоР (' - *о) вх, (2.30)
где г, г0 — температуры, соответствующие плотностям р и р0.
Для многих задач конвективного теплообмена можно с достаточной степенью точности ограничиться только подъемной составляющей: считая р расчетным значением плотности и обозначив г — г0 = в, получим ее выражение: р$$дх.
С учетом этих поправок уравнение движения примет вид
