Теплотехника - Чечеткин А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Для идеального газа при адиабатном течении в соответствии с уравнениями (1.160) и (1.158) скорость истечения
2к
с —
к - 1
Р^2
1-1^-Рі
К
(1.163)
Зная скорость истечения, нетрудно определить по уравнению (1.135) массовый расход рабочего тела через сопло.
Проведем анализ истечения из сопла идеального газа. Для идеального газа расход через сопло
т0 =
К + 1
Рі \ Рі
(1.164)
Из этого следует, что тс = 0 при р2= Р\ и при р2 — 0. Чтобы найти максимум Штах, т. е. максимум функции {р21р\\ надо взять производную выражения в квадратных скобках и приравнять нулю. Обозначив переменную {ръ/рх) через Р, произведем действие:
ар
тР--г~Р *
_2_
р*
А; + 1
0—1^0;
2-А:
"'=0, или =ІІ±1р^
К /С
46
откуда
= (3 к , или р =
К
К - 1
к + 1 г- » ; — г ^? + 1
Таким образом, расход газа через сопло становится максимальным
К
при отношении рг/рі = Р =
/< -h 1 которое впредь будем назы-
вать критическим отношением давлений и обозначать ркр. Аналогично этому давление в устье сопла (на выходе из него) р'2, удельный объем и2 и скорость истечения с, соответствующие максимальному расходу газа через сопло, назовем критическими и обозначим через ркт, vкp и скр. Следовательно, можно написать, что
(1.165)
^кр
(1.166)
2к
к - 1
1 к + 1
2к
к+ 1
Итак, при изменении давления среды or pt до р2 = ркр расход идеального газа через сопло увеличивается от пуля до максимума. При дальнейшем понижении давления среды от р2 = ркр до р2 = О согласно уравнению (1.164) расход газа через сопло должен уменьшаться от максимума до нуля. Опыты с истечением упругих тел через суживающиеся и цилиндрические насадки показывают, что при дальнейшем понижении давления среды от ркр до нуля расход газа через насадку становится постоянным, равным максимальному, т. е. действительный процесс изменения тс от p2/pi = 1 до pi/pi = О идет по линии abc (рис. 1.28). Это расхождение теории с действительностью объясняется тем, что в устье цилиндрического или суживающегося сопла при давлении среды Рср < Ркр устанавливается свое давление р'2 = ркр независимо от давления среды. Этому постоянному давлению потока па выходе из сопла, естественно, будет отвечать постоянный расход рабочего тела через сопло, равный максимальному значению wmax.
Покажем, что критическая скорость потока в данном сечении канала равна местной скорости звука в нем. В самом деле,
2к к + 1
RTt.
(1.167)
Понижение температуры в потоке при критической скорости согласно уравнению (1.165) равно
Ткп / Ркр \ 2
Р1
'кр
/с + Г
47
откуда
_ _ /с + 1
что при подстановке в уравнение (1.167) дает известное из курса физики выражение местной скорости звука
а = }/кВХР = }//ф^. (1.168)
Так как Я = 8314/р, то а = |/8314/<TKp/p. Отсюда следует, что местная скорость звука, а следовательно и скр, уменьшается с увеличением молярной массы газа и с уменьшением /с и Т.
Теперь можно сказать, что критическими параметрами рабочего тела при течении его в канале называются термодинамические параметры в том сечении его, где скорость потока равна местной скорости звука.
Итак, нами установлено, что при истечении рабочего тела из цилиндрического или суживающегося сопла скорость потока на выходе из него не может быть больше местной скорости звука. А это значит, что при истечении упругих тел, в частности идеального газа через цилиндрические и суживающиеся сопла в среду с давлением рср < ркр, только часть потенциальной энергии потока, соответствующая перепаду давления от pi до ркр, переходит в кинетическую энергию потока, хотя поток по выходе из сопла и будет продолжать расширяться с понижением своего давления от ркр до рср, но это расширение будет происходить неорганизованно и потенциальная энергия потока будет расходоваться на образование вихрей и т. д.
Поставим перед собой задачу построить такой профиль сопла, который обеспечил бы полное превращение потенциальной энергии потока, соответствующей перепаду давления от ру до р2 = рср, в кинетическую энергию потока по выходе его из сопла. Для этой цели проведем анализ уравнения (1.138): df/f = dv/v — del с.
Так как — v dp = d (с212) — с dc, то, поделив это уравнение на с2, получим
-vdp/c1 = dej с. (1.169)
Продифференцируем уравнение адиабаты pvk = const, получим kpvk~ ldv + vkdp = 0. Поделим это уравнение на рЛс, тогда
&v dp Л dv dp ,4
-+ = 0, или — = - (1.170
v kp v kp
Совмещая между собой уравнения (1.138), (1.169) и (1.170), получим
df dp t vdp kpv — с2 , a2 — с2 . ,.
_Z_= _ _JL+ —?. = -JL— dp = —-—r-dp. (1.171 / kp <r kpc1 kpc"
Проанализируем уравнение (1.171). Так как kpc2 > 0, a dp < 0, то во всем диапазоне изменений скорости истечения с от 0 до с < а в соответствии с уравнением (1.171) df/f < 0, т. е. профиль сопла должен быть суживающимся. При с = а = скр df/f=0 и/ = /min, т.е. в минималь-
48
Рис. 1.28. Зависимость массового расхода газа через сопло от отношения Р2/Р1
Рис. 1.29. Зависимость профиля сопла Лаваля от скорости в нем потока и перепада давления
