Динамика удара - Зукас Дж. А.
Скачать (прямая ссылка):
1.1.1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЙ
Величину и распределение ударных давлений на поверхности мишени можно найти аналитически, комбинируя решение динамической задачи о соударении твердых тел с решением статической задачи о давлениях между двумя контактирующими телами, подобно тому, как это делается по методу, описанному Тимошенко [31] для случая соударения сфер.
Сферический ударник, изотропная мишень. Обозначив массу и скорость ударника через тх и U1 соответственно, а массу и скорость мишени через т2 и V2, можно записать следующие выражения для скоростей изменения скоростей в процессе удара (при контакте обоих тел):
m^dvjdt)= -Р, m2(dv2/dt)= - Р.
(1.1)
Обозначим через а величину сближения ударника и мишени, обусловленного локальным сжатием в точке контакта, тогда скорость этого сближения будет равна
Ударник
¦!!»!!!• !'llllI!!
a = V1 + V7
Удар вызывает давление (давление изменяется во времени )
Давление Напряжения порождает приводят к напряжения разрушению
(1.2)
Рис. 1.1. Существенные особенности подхода.
Мишень многослойная, с общей ортотропией, гибкая или полубесконечная, с криволинейной поверхностью.
Ударник тело вращения 10
Г лава 2
Из результатов, полученных Рэлеем [26], следует, что если продолжительность контакта между ударником и мишенью очень велика по сравнению с естественными периодами колебаний этих тел, то колебаниями в системе можно пренебречь. Следовательно, можно предположить, что в этом случае закон Герца
р = жх3/2, (1.3)
установленный для статических условий, применим и для задачи об ударе. Величина п определяется выражением
п = 4 /Зти (Zc1 + /с2), (1.4)
где JR1-радиус сферического ударника,
Zc1 = (1 - V2lVnEl, (1.5)
к2 = (\-v\)IKE2. (1.6)
E и у-модуль Юнга и коэффициент Пуассона соответственно, а индексы 1 и 2 относятся к ударнику и мишени. Дифференцируя выражение (1.2), комбинируя его с (1.1) и подставляя (1.3) в результирующее уравнение, получаем
а = лМа32, (1.7)
где M = (Ifml) + (Ifm2).
(1.8)
Умножая теперь, как у Тимошенко [31], обе части уравнения (1.7) на а и интегрируя полученное соотношение, получаем
a2-i;2= -*/5MnoL5l\ (1.9)
где и — скорость.сближения обоих тел при t = 0, т.е. в начале удара. Максимум деформации Ot1 достигается при а = 0 и равен
Ot1 =(5v2/4 Mn)215. (1.10)
Другой путь вывода соотношения (1.10) связан с использованием баланса энергии в системе. Предположив, что мишень полубесконечна и неподвижна, а ударник движется со скоростью U1, получаем уравнение для баланса энергии
ai
V2Hi1U? = J Pda. (1.11)
о
Подставив теперь (1.3) в (1.11) и взяв интеграл, получаем соотношение
V2W1U2 = V5KO^2, (1.12)
которое после разрешения относительно OL1 совпадает с соотношением (1.10) при условии U1=U, M=Ifml. Подстановка (1.10) в (1.3) дает следующее окончательное соотношение:
P = п245 (5и2/4М)3/5. (1.13)
Для контактной задачи Герца о вдавливании сферы в плоскую по- Разрушение композитных материалов
11
верхность силой P соотношение, связывающее P и а (где а - радиус площадки контакта), имеет вид
ГЗлР 11/3
A= —(fci+kj*! • О'14)
Комбинируя (1.14) и (1.13), получаем выражение для максимального радиуса площадки контакта между плоской мишенью и сферическим ударником
a = (Rl)ll2(5v2/4Mn)l/5. (1.15)
Было показано [3, 17, 31], что распределение давления по площадке контакта имеет вид
/ х2+ 2\1/2 я** = яO1--гЧ . 0-1«)
где q0-поверхностное давление в центре площадки контакта при X = у = 0. На границе площадки
(х2 + у2)/а2=Х (1.17)
и, значит, там
9,., = 0. (1.18)
Суммируя действующие на площадку контакта давления и приравнивая результат величине Р, находим
q0 = 3P/2na2. (1.19)
Комбинируя (1.13), (1.15), (1.16) и (1.19) и вводя полярные координаты, получаем следующее выражение для распределения поверхностных давлений:
Яг =
3п \/ 5и2 \1/5[ , /гч2п
InRl )\АпМ
¦
1/2
(1.20)
3" ( 5и2 У'5
Соотношения (1.13), (1.15), (1.20) дают окончательные выражения для ударной силы, радиуса площадки контакта и распределения поверхностных давлений через скорость удара, геометрию ударника, упругие свойства и массы ударника и мишени. Выведенные здесь уравнения могут быть использованы также для определения изменения во времени упомянутых выше величин (Р, a, qr, q0\ что более подробно будет обсуждено в разд. 1.1.2.
Общий случай соударения двух неизотропных тел вращения. Тот
же подход, что был описан в предыдущем разделе, можно использовать 12
Г.шва 1
при исследовании более общего случая соударения двух тел вращения, изготовленных из трансверсально изотропных и ортотропных материалов, включая мишени, изготовленные из слоистых композитов. Для обобщения теории на случай произвольных тел вращения требуются уравнения, соответствующие решению контактной задачи для таких тел. Решение более общей контактной задачи можно найти в работах Герца [17, 18], Уиттмора и Петренко [32], оно было также дано Тимошенко [31], Беляевым [4] и имеется во многих других публикациях.
