Динамика удара - Зукас Дж. А.
Скачать (прямая ссылка):
Г лава 2
и S2 совпадали. Обозначим их через т, тогда
dx а2
— = T = - = ——, (2.32)
at ot1 CL2
что дает два уравнения для определения CL1 и а2:
Ta1 - а2 = О, C2OL1 - та2 = 0. (2.33)
Для существования нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы детерминант из коэффициентов перед CL1 и CL2 обращался в нуль, т.е.
X2-C2 = O, (2.34)
откуда, учитывая (2.32), получаем характеристические направления в X — t плоскости
dx/dt = x= ±с. (2.35)
Из уравнения (2.32) имеем
Cl2Zol1=C на dx/dt = c, (2.36)
CL2ICL1= — с на dx/dt= — с. (2.37)
Подставляя эти значения в выражение (2.31), получаем
dv dv\ ( дг дг \ Л дх ____
Iric^j-TfeiIr)-0вдоль а-±с- (138)
Окончательно, замечая, что величина производной по направлению получается из уравнения
du ди г—-у-^ du
Al- +A2--VAlTAl-, (2.39)
определяем соотношения вдоль характеристик
dv±cde = 0 вдоль dx/dt = ±с. (2.40)
Вводя интеграл
є
<P = fds, (2.41)
О
можно написать после интегрирования уравнения (2.40)
V ± ф = const вдоль dx/dt = ± с. (2.42)
Характеристики и решение задачи о полубесконечном брусе, к концу которого мгновенно приложено напряжение или постоянная скорость, Упругоп.іаспшческие волны напряжений
57
t
t
X
Рис. 2.7. Простая волна при мгновен- Рис. 2.8. Простая волна при постепенном приложении напряжения или ско- ном приложении напряжения или ско-
изображены на рис. 2.7. Легко видеть, что это решение просто можно вывести из ранее полученного решения (2.16). Прямолинейные характеристики имеют наклоны от C0, соответствующего упругому поведению, до C1, соответствующего максимуму деформации. Вдоль каждой характеристики величина є постоянна, так как наклон с = с(є) зависит от є. Далее, так как из (2.41) следует, что ст = а (є) и <р = ср(є), то, учитывая условие (2.42), легко заметить, что величины ст, є, v и ср постоянны вдоль прямолинейной характеристики dx = cdt.
На рис. 2.8 показаны характеристики и решение в случае, когда напряжение или скорость при х = 0 изменяются постепенно в течение времени і и затем остаются постоянными. В решении этой задачи существует область упругого поведения за фронтом головной волны, за которой следует область пластичности. В обоих случаях за линией dx = = C1^t, соответствующей самой низкой скорости волны при самых больших значениях напряжения или деформации, лежит область однородного распределения параметров. Эти простые решения для волн, распространяющихся в одном направлении, верны, если ст = = а (є)-однозначная монотонно возрастающая функция, а с = = с (є) -убывающая функция деформации, т.е. если а (є) - вогнутая к оси напряжений функция, или если отсутствуют ударные волны.
Когда учитывается разгрузка, уравнение состояния при возрастании напряжений задается однозначной функцией ст = ст(є), а при убывании напряжений-соотношением теории упругости между ст и є. В этом случае на характеристической плоскости необходимо различать области
рости.
рости. 58
Г лава 2
нагружения и разгрузки, чтобы правильно выбрать характеристические направления и использовать правильные соотношения вдоль этих направлений. Необходимо напомнить, что при упругом поведении характеристики являются прямыми линиями с постоянным наклоном C0.
В работе [111] предложен метод определения границы разгрузки для нескольких типов задач распространения одномерных упругопластиче-ских волн в стержне. Задача определения движущихся упругопластиче-ских границ, обусловленных волнами разгрузки,, при распространении пластических волн двухосного напряжения рассмотрена в работе [28]. В этой работе была исследована комбинация продольных волн и волн кручения. В общем случае, однако, задача учета волн нагружений и разгрузки сложна, поскольку граница разгрузки заранее неизвестна и может быть получена лишь в результате решения всей задачи в целом.
2.1.3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Самая первая экспериментальная проверка НС-теории была предпринята в работе [44]. Измерялись остаточные деформации в медной проволоке вследствие ударного воздействия падающего груза. При использовании статических кривых а (є) в теоретических расчетах было достигнуто хорошее соответствие между остаточными деформациями и скоростями удара. Было доказано существование критической скорости при растяжении, превышение которой приводило к мгновенному разрыву, как это и предсказала теория (см. (2.24)). При тщательной проверке данных было обнаружено расхождение измеренных деформаций вблизи конца, по которому производился удар. Эти расхождения объяснялись несовершенством отражения пластических деформаций и неточностью в измерении длительности удара. Тем не менее на основании экспериментальных данных был сделан вывод, что зависимость между напряжением и деформацией при ударе отличается от статической.
Сообщалось [61] о выполненной во время второй мировой войны работе, связанной с разработкой и экспериментальной проверкой НС-теории. В экспериментах с медной проволокой измерялись остаточные деформации после нагружения с помощью падающего груза. Проверялось существование плато деформации и зависимость его амплитуды от скорости удара, но было обнаружено, что распределения остаточных деформаций значительно отклонялись от предсказанных теорией. В работе [26] с помощью НС-теории по экспериментальным данным была рассчитана динамическая зависимость а (є) для меди при растяжении под действием удара и впервые было показано, что эта зависимость отличается от статической, если для объяснения эксперимента воспользоваться теорией пластических волн конечной амплитуды.
