Динамика удара - Зукас Дж. А.
Скачать (прямая ссылка):
53
6
X
Рис. 2.4. Выпуклая в сто- Рис. 2.5. Профили волн в стержне из упруго-рону оси напряжений пластического материала, показывающие эф-
заданного на границе напряжения или скорости или при отражении от свободного конца бруса необходимо учитывать взаимодействие волн нагружения и разгрузки. Одно из первых решений задач такого рода было дано в работе [71], в которой была определена граница пластической разгрузки в подвергнутом удару цилиндре. В результате численного решения задачи были обнаружены небольшие расхождения в значениях остаточных деформаций при учете разгрузки по сравнению с теми, которые получаются при учете прохождения по полубесконечному брусу только волны нагружения. При математическом анализе возникают трудности, связанные с различием вида уравнения состояния при нагру-жении и разгрузке и различием скоростей соответствующих волн. Рассмотрим полубесконечный брус из НС-материала, по которому производится удар длительностью Т. Распределение напряжений в момент времени tx после удара представлено кривой 1 на рис. 2.5. Максимум напряжения распространяется со скоростью с19 определяемой из решения Кармана, которая меньше скорости упругой волны с0 (см. также рис. 2.3). Произвольный уровень напряжения будет распространяться со своей характеристической скоростью с и переместится на расстояние Ctl. Так как C1KC0, расстояние между фронтами упругой и пластической волн будет постепенно увеличиваться. Между тем волна упругой разгрузки перемещается со скоростью с0 и остается на неизменном расстоянии с0 T за фронтом упругой волны. Поскольку по мере распространения пластическая волна растягивается, она в конце концов срезается догоняющей ее волной упругой разгрузки. Форма волны в некоторый более поздний момент времени показана на рис. 2.5 кривой 2. Упругая волна разгрузки догонит фронт пластической волны в момент времени
кривая деформирования.
фект разгрузки.
t = C0Tf(C0-C1) на расстоянии от границы бруса
Ii=C0ClTf(C0-Cl).
(2.21) (2.22) 54
Г лава 2
Рис. 2.6. Кривая деформирования, иллюстрирующая понятие критической скорости.
В итоге пластическая волна постепенно ослабляется, пока не останется только участок упругой волны длиной C0T.
Еще одна особенность НС-теории связана с понятием критической скорости при растягивающем ударе. Превышение этой скорости приводит к мгновенному отрыву на границе бруса. Понятие критической скорости можно пояснить, используя выражение для постоянной скорости границы, по которой производится удар:
V1 = $c(z)dz, о
(2.23)
где ^!-скорость при х = 0, соответствующая максимальной деформации S1, а с (є) определяется из уравнения (2.18). Уравнение (2.23) можно легко вывести из решения задачи об ударной нагрузке, сообщающей концу полубесконечного бруса постоянную скорость, если выразить w(0,t)/t и произвести замену переменных. В случае кривой деформирования а (є), изображенной на рис. 2.6, при деформации Zm скорость распространения приращений деформации становится равной нулю, так как касательная к кривой а (є) горизонтальна. Критическая скорость удара определяется по формуле
vc = J с (є) dz.
о
(2,24)
Для скоростей выше Vc интеграл (2.23) не существует. Физически это означает, что энергия удара не может распространяться от точки приложения удара, так как скорость распространения приращения деформации равна нулю и происходит мгновенное разрушение.
2.1.2. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК
Мощным математическим методом решения многих задач о распространении волн является метод характеристик. Этот метод, описанный, например, в работах [53, 64], применим для численного решения систем Упругоп.іаспшческие волны напряжений
55
уравнений относительно таких переменных, как а, є, v, зависящих от пространственной координаты х и времени t. Метод применим к уравнениям в виде
^ + сад
где повторяющиеся индексы означают суммирование по ним. Это множество квазилинейных уравнений, т.е. линейных относительно первых производных переменных Uj. Величины aij, bij, Ri могут быть функциями Uj1 х и t. Рассмотрим, например, задачу о распространении волн в длинном стержне в рамках НС-теории распространения пластических волн. Исходные уравнения могут быть выписаны относительно деформации є и скорости V в виде
dv , де
--C2- = O, (2.26)
dt дх
dv де
-.--^- = 0, (2.27)
дх ot
где
.. (\ AxV'2
(2.28)
Заметим, что производная функции /(x,t) по направлению 5 в плоскости X — t определяется формулой
df df дх df dt
— = —--+ —--, (2.29)
ds дх ds dt ds
где направление s определяется из записи
дх/ds dx
—-— =-. (2.30)
dt/ds dt 1 '
Умножим уравнения (2.26) и (2.27) на Oc1 и CL2 соответственно и сложим
dv dv о de де .
<*і -г- + --Oti с—--а2 — = 0. (2.31)
1 dt 2 дх 1 дх 2 dt
Первые два члена выражения (2.31) представляют собой величину dvIdsli где направление s1 определяется соотношением Cl2Iol1 = dx/dt. Два последних члена представляют собой de/dsl9 где направление s2 определяется соотношением Cl1C2Iol2 = dx/dt. Потребуем, чтобы направления S1 56
