Динамика удара - Зукас Дж. А.
Скачать (прямая ссылка):
р (d2u/dt2) = (da/de)(de/dx). (2.5)
Первой решенной задачей была задача о растягивающем ударе по концу полубесконечного бруса. Концу бруса (х = 0) в момент времени t = 0 сообщается постоянная скорость. Для бруса, занимающего область — со < X ^ 0, граничные условия имеют вид
и = V1 при х = 0 (V1 = const),
(2.6)
M = O при x = — 00.
Уравнение (2.5) имеет следующие три решения, которые справедливы в различных областях:
(1) и = U1 [f + (x/cj)] или є = ди/дх = V1Zc1 = const, (2.7)
(2) EI9 = X2It2. (2.8)
Эти решения получаются, если ввести переменную ? = x/t, так что є = =/(?, поскольку Е = Е(е). Тогда можно написать
U-JI со (ди/дх) dx = г f_ со № d\. (2.9)
Так как ? = x/f, имеем
dSJdx = 1 A, dEJdt = - x/t2 = - tjt (2.10)
и из уравнений
du/dx = (du/dQ(d?Jdx) = (1 /t)(du/di) (2.11)
и
du/dt = (du/d^m/dt) = - m(du№ (2.12) Упругоп.іаспшческие волны напряжений
51
2
Рис. 2.3. Распределение деформаций в стержне, конец которого под действием удара приобретает постоянную скорость.
J-фронт упругой волны; 2-фронт пластической волны.
О
получаем
d2u/dt2 =rmz>2/t), d2u/dx2 =rm\/t).
(2.13)
Подстановка в (2.5) дает
(2.14)
Но/'(?) = 0 соответствует є = const, т.е. первому решению (2.7); второй сомножитель дает второе решение (2.8). Наконец, третье решение есть
Решение всей задачи получается комбинацией этих трех решений следующим образом [61]:
Решение для деформации как функции ? = x/t показано на рис. 2.3, на котором видны два волновых фронта, распространяющиеся с различными скоростями. Амплитуда фронта упругой волны равна деформации начала течения еу.
Три основные особенности рассмотренной задачи о движении границы бруса с постоянной скоростью в рамках HC-теории состоят в следующем: 1) амплитуда фронта пластической волны постоянна, 2) Є] и связаны соотношением (2.16а), 3) распределение деформации между фронтами упругой и пластической волн определяется вторым решением.
Постановка выражения для технической деформации (2.3) в (2.5) дает волновое уравнение
(3)
є = 0.
(2.15)
для IjcI <Cxt є = const = VlZcl = E1 , для C11 < IXI < c0t E (е) = X2It2i для |х| > c0t є = 0.
(2.16a) (2.166) (2.16в)
d2u/dt2 — с2 (є) d2u/dx2 = О,
(2.17)
где
c2(e) = (\/p)(do/de).
(2.18) 52
Г лава 2
Важная особенность НС-теории состоит в том, что в соответствии с (2.18) каждый уровень напряжения или деформации распространяется со своей собственной характеристической скоростью, зависящей от наклона касательной к кривой деформирования а (є) в данной точке, т.е. от касательного модуля. Если предполагалась вогнутость кривой деформирования а (є) к оси напряжений, то чем больше напряжение или деформация, тем меньше соответствующая скорость пластической волны. Таким образом, крутые в начальный момент импульсы по мере распространения по брусу выполаживаются, волна растягивается.
В работе [112] впервые удалось отказаться от требования вогнутости кривой деформирования а (є). Было показано, что в случае выпуклой кривой ст (є) формируется ударные волны. На рис. 2.4 показана выпуклая кривая а (є). Так как наклон, определяющий скорость волны, является возрастающей функцией деформации, то приращения больших деформаций будут распространяться быстрее приращений меньших и в конце концов должны будут их обогнать. Физическая невозможность существования приращений больших деформаций без приращений малых требует, чтобы сформировался ударный фронт. Если точка А на рис. 2.4 определяет максимум напряжения или деформации в образце, то в конце концов сформируется ударная волна такой же амплитуды, а распространяться она будет со скоростью, определяемой наклоном прямой OA. Выпуклость функции ст(є) характерна для волн одноосной деформации при высоком давлении. В работе [72] указано, однако, что с возрастанием скорости сжимающего удара в брусьях или стержнях, когда пренебрегают поперечной инерцией и законами термодинамики, в конечном итоге ударные волны обязательно возникнут, так как максимум технической деформации равен единице, в то время как максимум напряжения (силы, деленной на начальную площадь поперечного сечения) может стать бесконечной величиной.
Ударная волна также может сформироваться, если скорость удара превосходит скорость волны в материале. В работе [110] рассмотрены как случай сверхзвукового удара, когда скорость удара превосходит скорость упругой волны, так и случай трансзвукового удара, когда скорость удара меньше скорости упругой волны, но больше самой низкой скорости волны по НС-теории. Показано, что действительная скорость
волны с* превосходит скорость пластической волны с = ]/daIpdz и рассчитывается по формуле
с» = !> + (1 +є)с, (2.19)
где V-скорость частиц, которая определяется соотношением
є
и = -Jafe. (2.20)
о
До сих пор были рассмотрены только условия нагружения, задаваемые на границах полубесконечных брусьев с помощью неубывающих функций времени. При появлении разгрузки вследствие устранения Упругоп.іаспшческие волны напряжений
