Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
компоненты в любом ортонормнро: ванном базисе. Гиротропный тензор имеет
одни и те же компоненты во всех ортонормированных базисах однрнменной
ориентации.
Примером изотропного тензора может служить единичный тензор Е.
§ 5. Тензорные (функции
Тензорной функцией s тензорных аргументов называется отображение,
ставящее в соответствие каждой совокупности тензоров различного ранга р*
(к=1, 2, ... s) из некоторого множества .тензор ранга q:
Y = f (Хь Хг, ... Xs); XkeTPk, YeTq. (5.1)
/W . "V M "V fsj
Рассмотрим частный случай тензорной функции f: Tp-"-Tq,
Y = f(X), XeTp, YeTq. (5.2)
Л/ ГЧ/ /V
Записав компонентные представления тензоров X и Y в фик-
Ль" Л/
"грованном базисе:
X = Хш",еш ... е" Y = Y'-'e,... е"
л* Л?"
из (5-2). видим, что тензорной функции f можно поставить в соответствие
пч скалярнозначных функций от цр скалярных аргументов:
Yi...f - p.../(x^-t). (5.3)
-- . - $
При другом выборе базиса -ею в Эп вид компонентных функций Р 1 будет,
вообще говоря, другим. Очевидно, что такое компонентное представление
возможно и для тецзориой функции общего вида (5.1)". '
Тензорная функция называется изотропной, если для любого ортогонального
тензора Q выполняется соотношение [58]
А"
AvQ(Y) = f[AvQ(X1), ... Avq(Xs)1 (5.4)
Если (5.4) выполняется только для любых собственно ортогональных
тензоров, то функция называется'гиротропной.
Для функции f: Т2->- Т2 условие изотропности (5.4) можно переписать так:
f (QT • X • Q) = Q?' f (X) • Q. (5.5)
/V /V л" л" л" Л" "
Изотропная тензорная функция имеет одинаковые компонент-
яые представления во всехортонормированных базисах, т. е. вид
компонентных функций f1 -' не зависит от выбора ортонормнро-ванного
базиса в Эп.
Все рассмотренные в § 2 действия с тензорами задают изо--тропные функции
от тензоров.
Рассмотрим тензорную функцию
Y = LoX, ХеТр, YeTq, LeTp+q. (5.6)
/V Л/ /ч/ /V /V
Если Y рассматривать как функцию двух тензоров L и X, то
'У /V /V
эта функция изотропна. Если же (5.6) рассматривается как -функция только
одного аргумента X, a L считается параметрическим тензором, то эта
функция будет, вообще говоря, неизотропной. Она будет изотропной только в
случае, когда L - изо-
/V
тропный тензор.
Скалярнозначная изотропная функция одного тензора называется инвариантом
этого тензора, а скалярнозначная изотроп-вая функция нескольких тензоров
называется совместным инвариантом этих тензоров.
Известно, что в трехмерном пространстве любой инвариант симметричного
тензора второго ранга есть функция его собственных значений или, что
эквивалентно, функция его главных1 инвариантов I,. 1"2, 13. Любой
инвариант вектора есть функция его .длины. ,
Сведения о полных системах совместных инвариантов произвольного числа
векторов и тензоров второго ранга содержатся в [43, 62]..
Общее представление изотропной функции, аргумент и значение которой есть
симметричные тензоры второго ранга, в трехмерном пространстве имеет вид
... 'Y-=?0E-|-.<PiX;!- ^Х2-, '(5.7)
где фо, ф1, фг - функции главных инвариантов тензора-X. Как видно из
(5.7), тензоры X и Y сооены, т. е. .имеют совпадающие
"У /V
собственные векторы:
Рассмотрим тензорную функцию f (X), отображающую тензо-
. - • * ', . у '* .
ры ранга р в тензоры ранга q. Если для любого тензора ВеТр
л/
-существует такой тензор f,x(X) ранга p + q, что выполняется
л/ <ч/
"соотношение
¦" ' ¦ f(X + aB>-f('X) • -
tx °B= ¦- f(X + aB) 1 e=o = Iim ~ -, (5.8)
/v #v vO л/ гч/ et-"0 a >*
то этот тензор f, x(X) называется производной тензорной функ-
/V /V
пии по тензору X.- В компонентном представлении в фиксирован-
•л/
• "*¦ ном простом полибазисе, образованном на основе базиса е^ в Эп и
взаимного к нему, правая часть (5.8) примет вид
fk...s ( Xn....t a B"-t) I e^o = -------B"-*.
да дХт~*
По определению полного умножения (2.3) и в силу произвольности тензора В
из (5.8) получим
/V
A fk...s' -*¦ -" -*¦ -*•
f-x <х-= ^гге* -е* em - е'- <5-9>
dX"'-*
Таким образом, компоненты производной f, х представляют
собой совокупность частных производных компонентных функций но
компонентам тензорного аргумента.
От (5.8) можно перейти к обычным дифференциальным обозначениям, если
обозначить тензор В. через dX и назвать его
/Ч/ /V
дифференциалом независимой тензорной переменной,, а правую чайть (5.8)
назвать дифференциалом функции df:
df = f,x(X)odX, (5..10)
; Л/ л/ /ч/*"
или в компонентном представлении ;
д fk-8
d fk-s = --- dX"1-*. дХ(tm)-*
При вычислении производной по тензорному аргументу часто можно
пользоваться представлением (5.9), однако во многих случаях удобнее
применять бескоординатное определение (5.8).
Из (5.8) нетрудно установить, что производная изотропной тензорной
функции есть также изотропная тензорная функция.
Отсюда, в частности, следует, что производная любого инварианта
симметричного тензора X второго ранга есть симметрич-
тыи тензор, соосный с X. Кроме того, главные значения произ-
те
водной от инварианта симметричного тензора есть частные производные этой
