Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зубов Л.М. -> "Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек" -> 5

Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.

Зубов Л.М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек — Ростовский университет, 1982. — 144 c.
Скачать (прямая ссылка): metodinelineynoyteoriiuprugosti1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 43 >> Следующая

оно не меняет знака при инверсии пространства. Такие
величины называют псевдовекторамн. Точно так же, если а - истинный
вектор, то формула (3.2) определяет псевдотензор А.
fs/
Псевдотензором третьего ранга является и тензор Леви-Чиви-та Д.
/V
Прн неизменной ориентации пространства, т. е. при использовании только
одноименных (например, правых) векторных базисов, различие между
истинными тензорами и псевдотензорами пропадает.
Для подавляющего большинства излагаемых ниже вопросов различие между
тензорами и псевдотензорами не является существенным, в связи с чем в
дальнейшем не будем проводить
терминологического различия между ними.
• ¦ -^ *
Единичный вектор d, удовлетворяющий уравнению
IS
называется собственным вектором, или главной осью тензора Хь
Те значения Я, при которых существует решение уравнения (3.10),
называются собственными, илн главными значениями тензора X.
/V
Они являются корнями характеристического уравнения, которое в Трехмерном
пространстве записывается так: •
-Я3+1,Х2 -12Я+13 = 0. (3.11)
Ij = tr X, I2=-L(tr2X -trX2), I3 = det X.
#4/ -2 ow M "v 4
Коэффициенты уравнения (3.11) называются соответственно первым, вторым и
третьим • (главными) инвариантами тензора второго ранТ'а X.
Для симметричного тензора главные значения вещественны, - а
соответствующие им собственные единичные векторы - ортогональны. В
ортонормированном базисе собственных векторов симметричный тензор
представляется следующим образом:
X = dj dj -f- X2 d2 d2 -f- ^3 d3 d3. (3.12)
Представление (3.12) называется спектральным разложением тензора второго
ранга.
Для любого тензора второго ранга справедлива теорема Кэ-' ли -
Гамильтона: тензор удовлетворяет своему характеристическому уравнению. В
трехмерном пространстве это тождество записывается следующим образом:
* -Х3 + 11Х2т-12Х + 13Е = 0. ' (3,13)
. С помощью (3.13) любую целую (а для неособого тензора - н любую целую
отрицательную) степень тензора можно выразить в виде трехчлена а0Е -f-
OiX -f- а2Х2, коэффициенты которо-
rv м *-
го Оо, а\, а2 будут полиномами от главных инвариантов тензора X.
/V
Тензор Хьуопределённый для п=3 формулой
¦ называется присоединенным к X. Для неособого тензора верно
/ч/ *
равенство XL=X-1detX. Матрица смешанных компонент тензо-
/V гч/
pa XL совпадает с транспонированной матрицей алгебраических
/V
дополнений матрицы смешанных компонент тензора X.
/V
Симметричный тензор X называется неотрицательным, если
a-X-fl^Oy а, и положительно определенным-, если а-Х-а>О
уа=^= 0. Собственные значения неотрицательного (положительно
определенного) тензора неотрицательны (положительны).
Неотрицательным (положительно определенным) квадратным корнем из
неотрицательного (положительно определенного) тензора X называется тензор
Х,/2, определенный формулой
/V /V
X1/8 =^/хГ<Л. ' (3.15)
S = 1
Здесь Xs -собственные значения, тензора X, а квадратные
корни берутся в арифметическом смысле.
Справедлива следующая теорема о полярном разложении. Любой неособый
тензор второго ранга Y можно единственным
образом представить в виде
Y = Н • Q = Q • Н* ' (3.16)
"V /V /V /V /V
где Н, Н* -- симметричные положительно определенные тензоры, a Q -
ортогональный тензор. Эти тензоры определяются по тензору Y следующим
образом:
/V
Н = (Y*YT)1/2t Н* = (YT-Y)1/2, Q = H-'.Y. (3.17)
/Ч/ ,4/ /V ~ ЛУ <V
. Обозначив орты главных осей тензоров Н и Й* соответствен-
/V /ч/
но ds и d* имеем
п п ¦
н = fci. н*=уу(3.18)
ч/ ^ ШШш
15
Ортогональный тензор Q переводит главные оси тензора К
->
в главные оси тензора Н* : ds-Q=±d*.
л# л>
Полярное разложение возможно и для особого, тензора. В этом случае
симметричные неотрицательные тензоры Н, Н* на-
ч *-годятся по формуле (3.17) единственным образом, однако ортогональная
часть разложения Q определяется ino тензору Y не
л# л/
единственным образом.
§ 4. Изотропные и гиротропные тензоры
Автоморфизм векторного евклидова пространства Эп, определенный формулой
(3.6), порождает в пространстве тензоров ранга р линейнбе преобразование
Avq(X), действующее по правилу
Л/ л/
Avq(ХЧе, е,... et) = Х"~*(е, • Q) (е, - Q)... (et. Q), (4.Ц
fV /V лг IV
где Q - ортогональный тензор второго ранга. Это преобразова-
л/
нне сохраняет скалярное произведение в простанстве Тр:
X о Y*= Avq (X) о Avq (Y) yXYeTp, (4.2)'
(V iv л" л/ /v мл/
и поэтому называется автоморфизмом в Тр, порожденным автоморфизмом в.Эц.-
Согласно (4.1), действие автоморфизма на тензор второго ранга можно
записать.в такой форме:
Avq (X) = QT • X . Q. (4.3)
л -и ¦ *V л* <h* fsj
Тензор ранга р называется изотропным (гиротропным), если для любого
ортогонального (собственно ортогонального) тензора Q выполняется
равенство Avq (X) = X.
/V <v IV А"
Таким образом, изотропный (гиротропный) тензор не меняется при
автоморфизмах, порожденных любыми ортогональными (собственно
ортогональными) преобразованиями в Эп. Из этого определения н (4.1)
непосредственно следует, что изотропной тензор имеет одни и те же
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 43 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed