Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
fst
§ 3. Тензоры второго ранга
.Наиболее широкое применение.в механике сплошной среды имеют тензоры
второго ранга. "Как уже указывалось в § 2; тензор второго ранга есть
линейный оператор, действующий в пространстве Эп по правилу
b =р.а = а.рт. (ЗЛ)
/ Тензор второго ранга Р называется симметричным, если
/V "
10
Р=РТ, и антисимметричным, если Р - -Рт- В трехмерном про-
"V АГ Л(
странстве антисимметричный тензор А имеет только три незави-
симые компоненты и можетг быть представлен через вектор а но формуле
А = ЕХй = аХЕ, а =--------------- Д°А. (3.2)
^ <>"¦ 2 <%" л*
¦ > > >
Здесь Д = -Е X Е = 8kmnikimin - дискриминантный тензор
IV *1%" IV
(тензор Леви-Чивита). Его компоненты ц ортонормированном базисе бктп,
называемые символами Леви-Чивита, равны нулю, если среди индексов к, ш, п
имеется хотя бы два одинаковых, равны числу е, если индексы образуют
четнукпперестановку кш-сел 1,-2, 3, и равны - е, если индексы образуют
нечетную пере-
становку. е=1, если векторный базис it имеет правую ориентацию, е = -1 в
противоположном случае. Для ковариантных и контравариаНтных компонент
тензора Д в произвольном косо-
->• 14/
угольном базисе ек справедливы, соотношения
Дкшп = Y~ g Skmn, Дктп = ----. 8kmn, g = | gik I . (3,3)
/ g
. При простом умножении двух тензоров второго ранга снова получается
тензор второго ранга. Поэтому множество тензоров второго ранга замкнуто
не только относительно линейных операций, но и относительно простого
умножения. Результат простого умножения тензоров второго ранга в
дальнейшем будем называть 1фоизведением этих тензоров.
- При использовании смешанных компонент тензора в фиксированном простом
полибазисе имеет место соответствие между алгеброй тензоров второго ранга
и алгеброй матриц в том смысле, что линейной комбинации тензоров
соответствует та же линейная комбинация матриц смешанных компонент, а
произведению тензоров соответствует произведение матриц. При замене
базиса по формулам (1.5), (1.7) матрица смешанных компонент заменяется
подобной матрицей. Благодаря такому соответствию, многие понятия и факты
из теории матриц соответствующим образом переносятся на тензоры второго
ранга.
Кроме того, ясно, что для тензоров второго ранга справедливы все понятия
и теоремы, известные в теории линейных one-, ра-торов в конечномерных
Пространствах.
Детерминантом тензора второго ранга называется определитель матрицы его
смешанных компонент
detX= | X- | = | Х-ь I =g | Xkm | =- | Xkm | . (3.4)
~ g
Это определение корректно, так как величины |Х^т| и |Х"| не зависят от
выбора базиса. Тензор X называется неособым,
"V
"ели det Х=^0. Для неособого тензора существует единственный
Л/
обратный X-1, удовлетворяющий соотношению-
/V
Х-Х-" = Х-> • X = Е. (3.5)
Л" "V м /W
Целая степень Хш тензора X вводится как ш-кратное произ-
л" rv
ведение тензора самого на себя. Тензор (Х-1)п=Х-" называется
IV IV
отрицательной степенью тензора X.
IV
Линейное преобразование q:3n->3n, сохраняющее скалярное произведение
векторов, называется автоморфизмом евклидова пространства Эп:
q(a) - q(b) = а - b, у b 6 Э". (3.6)
Как и любое линейное преобразование, автоморфизм реали-
зуется с помощью тензора второго ранга Q:q(a)=Q-a. Этот
IV /V
тензор называется ортогональным. Из (3.6) следует, что он удовлетворяет
соотношению *
Q • QT = QT • Q = Е. (3.7)
IV М <V IV "V
Из (3.7) получаем detQ=±l. Ортогональные тензоры с положительным
детерминантом называются собственно ортогональными, а с отрицательным -
несобственно ортогональными. Ортогональное преобразование не меняет длин
векторов н углов между ними, поэтому собственно ортогональный тензор в
трехмерном евклидовом пространстве задает конечный поворот абсолютно
твердого тела вокруг неподвижной точки. Несобственно ортогональный тензор
осуществляет преобразование, состоящее из жесткого поворота и отражения.
Совокупность ортогональных тензоров образует группу, в ко-
торой операцией умножения служит простое умножение тензоров. Эта группа
называется полной ортогональной группой.
Ортогональный тензор переводит ортонормированный базис векторов в другой
ортонормированный базнс:
Js = Q • 1* ' *lc = ^ik) Js * Ik === (3.8)
-+¦ -> *
Если базисы ik, js заданы, то тензор Q находится нз уравне-
ния (3.8) в "виде
0=1 С (3.9)
л#
В трехмерном пространстве примером несобственно ортогонального тензора
служит тензор - Е. Соответствующее линейное
преобразование меняет направления всех векторов на противоположные и
называется инверсией. В Э3 любое несобственно ортогональное
преобразование можно представить в виде суперпозиции некоторого
собственно ортогонального и инверсии. Если в формуле (3.8) тензор Q
несобственно ортогональный, то бази-
-> - -> /V
сы jk и ik имеют разноименную ориентацию.
В связи с несобственно ортогональными преобразованиями
в Э3 надо сделать следующее замечание. Векторное произведе-
-*• -*•
ние двух векторов а X Ь не является в строгом смысле вектором, так как
