Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
оболочки при помощи координат отсчетной и деформированной конфигураций.
На основе этого метода даны постановки контактных задач для оболочек при
конечных деформациях, выведена система уравнений е задаче кручения
оболочки "ращения. Найдены некоторые точные решения' задач о больших
деформациях оболочек мз произвольного изотропного (в том числе и
неупругого) материала.
В работе над вопросами нелинейной теории оболочек автор постоянно ощущал
моральную поддержку со стороны своих учителей А. И. Лурье и И: И.
Воровича, давших много ценных советов и рекомендаций. Стимулирующее
влияние на автора оказывало также сотрудничество с возглавляемым Л. Б.
Царюком коллективом отдела тонкостенных конструкций НИИ механики и
прикладной математики РГУ.
Всем этим лицам автор приносит глубокую благодарность.
Глввв I
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Евклидовы тензоры
Рассмотрим евклидово векторное пространство Эп размерности п над полем
вещественных чисел. Скалярное произведение -> -¦> -> -> -> векторов а, b
из Эп обозначается точкой: ia-b. Лусть ek(k=l, 12,. ... п) - некоторый
базис в пространстве Эп. Тогда любой вектор^ разлагается единственным
образом по векторам базиса
a =?= a ek = a* es. (1Л)
Здесь и в дальнейшем применяется соглашение о суммировании от 1 до. п по
повторяющимся индексам, расположенным на разной высоте. Скалярное
произведение двух векторов выражается через их компоненты с помощью
положительно опреде-
ленной матрицы метрических коэффициентов g8k=es-ek:
a-b = gska*b\
Наряду с базисом ек, который назовем основным, рассмотрим: базис е8,
определенный уравнениями
es-ek = ^={ (1.2>
I 1, s = k. .
Здесь 6к- символ Кронекера. Единственное решение уравнений (1.2) имеет
вид
es = gsmem, (1.3)
где gsm - матрица, обратная матрице gkm : gsmgmk=6^. Базис е(r)
-v
называется взаимным по отношению к базису -ет. Векторы основного базиса
выражаются через векторы взаимного формулами, аналогичными (1.3):
(r)в = ёшк^ •
S
ми относительно сложения и умножения на число, но не коммутативно.
Аналогичными свойствами, а также ассоциативностью обладает тензорное
произведение трех и более векторных пространств
-
Эщ(r)Эп(r), •. • (r)ЭГ, 'порождаемое элементами вида ар ... х.
-> .
Пусть ек - базис в пространстве Эщ, fi - базис в лростран-->¦ , . стве
Эп, ¦ • •, hj- базис в пространстве Эг. Размерность пространства
Эщ(r)3п(r)...,(r) Эг равна произведению размерностей перемножаемых векторных
пространств, а его базис составляют -> -> ->
элементы вида ekfj.. hj (k=l,2,,..ш; i=l,2,...п; j=l,2,... г),.
Элементы пространства ТР, являющегося тензорным произведением р
идентичных евклидовых векторных пространств Эп, называются евклидовыми
тензорами ранга р.
->
В соответствии с этим определением вектор аеЭп можно назвать тензором
первого ранга, скаляр (число) а - тензором нулевого ранга.
Базисом в Тр может служить совокупность элементов вида.
ekejc'et" .... где еь, ек', ек" ... - произвольные базисы в Э". Наиболее
часто используется так называемый простой полибазис в Тр, который
строится на основе некоторого основного базиса и взаимного к нему. Так
для пространства Т2 тензоров второго-
-*• -> -> -> -У
ранга возможны четыре простых полибазиса: ekes, е^е8, ekes, ekes. Любой
тензор второго ранга Т можно представить в виде еле-
дующих разложений *:
Т = tsk es ek = tsk es ek = tfk es ek = tks ek es. (L9)
rsS
Числа tsk называются жовариантными компонентами тензора Т, fBk -
контравариантными, t sk и tks - смешанными компо-
,г
нентами. Аналогично определяются компоненты евклидовых тензоров любого
ранга.
Не следует отождествлять тензор с его компонентами. Тензор есть
инвариантный объект, не связанный с выбором базиса, в то время как его
компоненты зависят от выбора базиса. Например, для тензора третьего ранга
имеем _
Р^Р-ете;?==Р^:ек,^еЧ'. (Ы0>
Тензорные величины отмечаются тильДой под буквой.
В евклидовом пространстве Эп существует базис ik, удовле-
творяющий соотношению ik*i8=tiks- Такой базис называется ор-
тонормированным и образует совокупность п взаимно
ортогональных единичных векторов. Очевидно, что базис,
взаимный; к
(c)ртонормированному, совпадает с ним самим. Поэтому при использовании
ортонормированного базиса условимся все индексы писать на одном (нижнем)
уровне, при этом -соглашение о сум,-мировании по повторяющемуся индексу
остается в силе.
С помощью неособой матрицы Ак, можно перейти от основного базиса вк к
другому основному базису ет' по формуле
(r)т' == (То)
Матрицу обратного преобразования обозначим А(r)', так что
ek = A"'emS AfAk, = 8f/} Ak,A"'=8k. (/1.6)
Преобразование базисов, взаимных" к ек и ет', осуществляется также с
помощью матриц Ак, и А"'-;
: ек' == А?"е% е8 = А^е(tm)'. (1.7)
В основе прямого (бескоординатного) тензорного исчисления лежит понятие
тензорного произведения линейных пространств. •Строгое определение и
описание конструкции тензорного произведения содержится в [12, 28, 41,
58]. Здесь мы ограничимся перечислением основных свойств тензорного
