Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
W - --t(cos В* - cosatf).
G)2-p2V H '
Для определения динамических напряжений, возникающих в балке при
вынужденных колебаниях, необходимо определить напряжения от статического
действия силы Р0 и умножить на коэффициент динамичности,_____________
D CT^-g
В случае действия периодической нагрузки на упругую систему основной
задачей является исследование резонансных режимов ее работы. Если расчет
указывает на опасность резонанса, следует умножить частоту собственных
колебаний конструкции ю или частоту вынужденных колебаний возникающей
нагрузки р. Во многих случаях частота р не подлежит корректировке, тогда
следует изменить массу и (или) жесткость конструкции и тем самым изменить
частоту ю. Обычно требуется выполнение соотношения р < 0.7ю. Для
некоторых типов машин и конструкций (самолеты, турбины и т.д.)
разрешается принимать р >1.3ю. Это связано с тем, что при приложении
возникающих нагрузок максимальное амплитудное значение колебаний
достигается не сразу, требуется некоторое время для "раскачки" системы.
Поэтому быстрый переход через резонанс в таких случаях не представляет
опасности для прочности конструкции.
24.6 Определение критической скорости вращения вала
Валы являются одним из наиболее распространенных быстровращающихся
элементов машин. При их изготовлении и эксплуатации практически всегда
имеется эксцентриситет в распределении масс и, как следствие, возникают
силы инерции, вызывающие поперечные колебания валов. Как показывает опыт,
при некоторых вполне определенных угловых скоростях вращения возникают
большие прогибы системы, она становится динамически неустойчивой
(попадает в резонанс). Число
358
оборотов, при котором обнаруживается явление резонанса называется
критическим. Если число оборотов вала больше критического, то прогибы
уменьшаются.
Для объяснения этого явления рассмотрим с угловой скоростью ю
вертикальный вращающийся вал с одним диском, весом Q посередине
(рис.24.8)
Предположим, что диск посажен с эксцентриситетом е. Будем рассматривать
эту упругую систему как колебательную, а силы инерции несбалансированной
массы - как возмущающие силы. При вращении вала с угловой скоростью ю на
диск будет действовать центробежная сила инерции
g
где w - прогиб вала в месте посадки диска; g - ускорение свободного
падения.
Упругая реакция вала, как показано в предыдущей лекции, равна
359
где 8 - прогиб вала в месте посадки диска от действия единой
я /3
силы, в рассматриваемом случае 8 = .
Спроектировав все силы, действующие на вал, на горизонтальную ось получим
уравнение для определения w
Q 2, 74 w
со (w + l) = -
g
или учитывая, что
представляет собой квадрат собственной частоты поперечных колебаний вала,
перепишем это уравнение в виде
cd2(w + /) = go2w.
Из этого уравнения
Из этого уравнения видно, что при со -юс наступает резонанс. Критическая
скорость вращения вала
пп,
00,
со.
Учитывая, что ыкр =~^~' получим формулу для критического числа оборотов
вала
24.7 Свободные колебания упругой системы с несколькими степенями свободы
До сих пор мы рассматривали только колебательные системы с одной степенью
свободы. На практике же часто встречаются другие системы, расчетная схема
которых не может быть приведена к системам с одной степенью свободы. Их
следует рассматривать как системы с двумя, тремя и т.д. системами
свободы. Изучение колебаний системы с п степенями свободы приведем на
примере невесомой балки с п сосредоточенными массами. Рассмотрим балку
длиной / на двух опорах с п
360
сосредоточенными массами щ, т2,..., тп, расположенными в точках с
координатами соответственно рис.24.9.
Рис.24.9
В процессе движения на балку действуют силы инерции
d2wr.
РГ = ~т,
dt
2 '
где wk - прогиб балки в точке расположения массы тк. Используя принцип
суперпозиции, найдем прогибы балки в точках расположения масс
п1=6иР?+6п1?+... + 6]яРГ
W2 - +§22Р1 + - + ^2nPi'
w =5 +5 ,Р2 +... + 5 Рп
it п\ i в2 / tin i
Перепишем эту систему уравнений в более компактном виде с учетом
выражения для Pf
Здесь Ъы - прогиб балки в га-ой точке от действия силы Pt=l, приложенной
в /-ой точке. Для его вычисления можно воспользоваться интегралом
Максвелла-Мора или способом Верещагина.
Таким образом, мы получим однородную систему линейных дифференциальных
уравнений второго порядка, которая описывает свободные колебания системы
с п степенями свободы. Решение этой системы будем искать в виде
щ =4sinM+<p),
361
где Ак ию- неизвестные амплитуды, и частота собственных колебаний балки.
Дифференцируя это выражение дважды по времени, получим
d2w.
dt2
= Аксо sin(otf+(p).
Подставив эти выражения в полученную систему, будем иметь однородную
систему линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд и частот
(т^ю2 -1)4 + т28пю2А2 +... + тпЬы(й2Лп = 0 m2S2i(D24 + (т2822ю2-\)а2 +...
+ тп82п(о2Ап = 0
24+т28п2(о2А2+... + (тп8ппсо2 -1 )Ап = 0 Это однородная система линейных
алгебраических уравнений относительно амплитуд Ап. Она имеет
