Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зозуля В.В. -> "Механика материалов" -> 36

Механика материалов - Зозуля В.В.

Зозуля В.В., Мартыненко А.В., Лукин А.Н. Механика материалов — Х.: Национальный университет внутренних дел, 2001. — 404 c.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка): mehanikamaterialov2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 91 >> Следующая

условие прочности записывать в обычном виде:
- <[а]. (11.1)
W,
Для однородных хрупких материалов (высокопрочных закаленных сталей)
концентрацию напряжений необходимо учитывать. Условие прочности имеет
вид:
(И-2)
z
где а - теоретический коэффициент концентрации, определяемый по
справочным таблицам.
В обеих формулах Wz - осевой момент сопротивления ослабленного сечения.
При определении прогибов и углов поворота сечений отверстия и прочие
нарушения не учитывают.
11.2 Ступенчатые стержни
В местах сопряжения участков с различными размерами сечений возникает
концентрация напряжений. Если материал чувствителен к ней, то нужно
применить условие прочности (11.2) ко всем сечениям на границах участков.
Если же материал нечувствителен к концентрации напряжений, то нужно
применить условие прочности (11.1) к нескольким вероятным опасным
сечениям.
151
Для определения перемещений в ступенчатом стержне можно пользоваться
методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения
упругой линии балки или энергетическими методами, которые будут
рассмотрены ниже, или применять видоизмененный метод начальных
параметров. Суть последнего заключается в замене ступенчатого стержня
эквивалентным ему по деформациям стержнем постоянной жесткости.
11.3 Балки равного сопротивления изгибу
Частным случаем балок с непрерывно меняющимися по длине размерами сечений
являются балки равного сопротивления изгибу. В таких балках во всех
сечениях максимальные нормальные напряжения одинаковы и равны
допускаемым, т.е.
гг (уЛ - _ "^max _ |_ I (11 04
о(tm), -И (11-3)
ГГ z(x) rr z
Отсюда
Щх)
(11.4)
В качестве иллюстрации теории балки равного сопротивления рассмотрим
следующий пример.
Балка прямоугольного сечения одним концом защемлена, на свободном конце
приложена сосредоточенная сила Р (рис 11.2а).
Изгибающий момент в произвольном сечении, расположенном на расстоянии х
от свободного конца балки, будет:
М(х) = -Рх
В защемлении Мтах = -Р1, ширина сечения - Ь, высота - h,
6
Рассмотрим случай, когда ширина сечения Ъ остается постоянной, а высота
сечения изменяется - h = h{x). Тогда
_Щ?1
На основании зависимости (11.4) имеем
bh(x)2
6 = ~Рх bh2 -PI
6
152
Рис.11.2
откуда
h(x) = (11.5)
Следовательно, высота сечения балки равного сопротивления изгибу с
постоянной шириной сечения меняется по закону параболы (рис .11.26).
Определив высоту сечения h в опасном сечении, можно определить и высоту
h{x) в любом сечении балки по уравнению (11.5).
153
Так как площадь данной параболы составляет 2/3 площади описанного
прямоугольника длиной / и высотой h, то объем такой балки будет
составлять 2/3 объема балки с постоянным сечением bh, т.е. экономия
материала будет 33%.
Рассмотрим другое решение этой задачи, когда высота сечения h постоянна,
а изменяется ширина Ъ = Ь(х).
На основании уравнения (11.4) имеем:
b(x)h2
(л -Рх
bh2 -Р/'
6
откуда
Ь{ JC) = yJC (11-6)
Следовательно, в этом случае ширина балки изменяется по закону прямой
линии. Форма такой балки легко осуществима (рис.11.2в). Экономия
материала при применении такой балки в сравнении с призматической балкой
сечения bh достигает 50 %. В действительности экономия будет несколько
меньшей, так как в окрестностях свободного конца балки (jc = 0)
изгибающие моменты малы, поэтому ширина сечения определяется из условия
прочности по касательным напряжениям:
т =--<И
max rs 1 1 LJ
min
Откуда
ЗР
А > -
2/г[т]
Определим наибольший прогиб этой балки. Момент инерции произвольного
сечения относительно оси z выражается равенством:
J(x) = b{x)h
з
% '
- JC
I
h _ bh x _ j x 12 _ ~12~[ ~ 1
12
Здесь J - момент инерции сечения в заделке.
Дифференциальное уравнение примет вид:
d2y _ -Рх _ Р1 dx2 EJx EJ I
Правая часть дифференциального уравнения постоянна, поэтому
интегрирование его представляет простую задачу.
154
Последовательно интегрируя, получим
--= ---х + С (а)
dx2 EJ w
y(x) = -^-^- + Cx + D (б)
hj L
С и D определим из условий:
при х = I - = О, dx
при х = I y(jc) = О Из первого условия по уравнению (а) получим:
PI2 Р12
-- + С = О, С = -.
EJ EJ
Из второго условия согласно уравнению (б) имеем
Рр Рр Рр
- + - + D = О D = --
2 EJ EJ 2 EJ
Подставляя найденные значения постоянных в (б), получим уравнение
прогибов оси балки:
Р1х2 Р12х РР
у(х) =--------+----------.
2 EJ EJ 2 EJ
Положив jc = 0, найдем наибольший прогиб на конце консоли:
РР
-Утах ~ 2EJ
РР
Напомним, что в балке постоянного сечения утЯ1Г =------------------------
.
' ШаХ л тч у
3 EJ
Следовательно, балки равного сопротивления изгибу, обладая такой же
прочностью в заделке, как и балка постоянного сечения, имеют в полтора
раза больший прогиб. Подобного рода системы выгодны для рессор, которые
должны обладать достаточной прочностью и вместе с тем большой гибкостью.
Так, например, обыкновенная автомобильная рессора имеет такой же закон
изменения жесткости, как рассмотренная балка.
155
ГЛАВА 12
СДВИГ
12.1 Понятие о срезе и сдвиге. Деформации при сдвиге
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed