Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
Определим угол a = a0 , при котором осевые моменты инерции Ju и Jv
достигают экстремальных значений. Запишем условия экстремума Ju и Jv:
-У- = -2 -2 sin 2a - 2 J cos 2a = -2 J = 0
da 2 21Л
dJy - 2- ^-sin 2a + 2J " cos2a = 2 J = 0
da 2 z'y'
Следовательно, осевые моменты инерции Ju и Jv достигают
экстремальных значений одновременно при Juv= 0, т.е. относительно главных
осей. Так как Ju+Jv= const, то один из них достигает максимума, а другой
- минимума. Определим положение главных осей
J -J
Juv =- ^-sin2a0+J7V cos2a0 =0
uv 2 U 2\У\ U
Из этого условия получим формула для определения положения главных осей
инерции
51
Эта формула определяет два значения острога угла а, отличающиеся друг от
друга на 90°, т.е. положение двух главных осей инерции.
Для определения главных моментов инерции необходимо в формулы для Ju и Jv
подставить меньшее значение угла а0.
4.8 Окружность инерции Мора
Все практические задачи на вычисление моментов инерции относительно
повернутых осей удобно решать графическим способом при помощи окружности
инерции Мора.
Исключим угол а из формул:
J +J J -J
= ------ + - - cos 2а - J .. sin 2а
zl У\
2 2 J -J
= ----- sin 2а + Лcos 2а
2\У\
Возведем их в квадрат
f Jz +Jy
J -5 д
\2 г
V
/
J =
uv
J. - J
-----------cos2a -JTV sin2a
V z
2
\
-sin2a+J " cos2a
2 г,Л
и сложим
Ju-
J. +J..
У\
+J2 =
J - J
У\
+ J1 - окружность инерции Мора
J +J
Обозначим через a = ---------
R =
J -J
У\
+ Jzxyx ? Ju ~ X ' а Jw ~ У
тогда полученное уравнение примет вид (х-а)2 + у2 =R2 - это уравнение
окружности, центр которой лежит на оси jc и сдвинут вправо на величину а.
Следовательно, моменты инерции относительно повернутых осей определяются
координатами точек некоторой окружности, которая называется окружностью
инерции Мора.
Рассмотрим конкретный пример. Пусть требуется определить для некоторого
произвольного сечения (рис.4.10) моменты инерции
52
относительно повернутых осей и и v, если известны моменты инерции
относительно исходных произвольных осей zx и ух.
Предположим, что J >Jn, a J >0 и, откладывая осевые
моменты инерции по оси абсцисс, а центробежные - по оси ординат, выполним
следующие графические построения (рис.4.11):
1. Отложим в масштабе отрезки OD = Jz и DA = Jzy \ ОЕ = Jy и
ЕВ = . В результате получим соответственно точки А и В.
2. На АВ, как на диаметре, построим окружность, которая является
окружностью инерции Мора. Докажем это. Так как
ZAOxD = ZBOxE, то
yi Ai f v(min)
v
Рис.4.10
0,D = 0,Е =
2
OOi - ОЕ + ЕО-, - J + ¦
I I yx
2
2
53
Следовательно, центр построенной таким способом окружности, сдвинут
вправо на а, а радиус ее равен радиусу окружности инерции Мора, т.е. она
является окружностью инерции Мора.
3. Проведем из точки А горизонтальную или из точки В вертикальную
прямую до пересечения с окружностью в точке С, которая называется полюсом
окружности инерции Мора. Полюс обладает следующим свойством. Если из
полюса провести отрезок параллельно некоторой оси и , то он пересечет
окружность в точке К, координаты которой равны моментам инерции: Ju=OL,a
Juv=KL.
54
Осевой момент инерции Jv определяется абсциссой точки пересечения луча CM
LCK с окружностью, т.е. Jv = ON, a Juv= -MN.
Окружностью инерции Мора удобно пользоваться так же для определения
главных моментов инерции и положения главных осей. Главные моменты
инерции на окружности изображаются точками 1 и 2, у которых ординаты
равны нулю.
Имеем:
¦Ап ах = 0\ = 00] + R, .Ann, =02 = 00] = R.
J +J
Учитывая то, что ООх = -----------
a R =
J
У\
+J
zi У\
получим
формулы для определения главных моментов инерции
Главные оси инерции определяются направлениями отрезков С1 и С2, т.е.
углами ах и а2 или углом а0 . Из чертежа следует:
-AD -2
fg2a0 =
Z1Л
OxD Jz -JY '
1 zx yx
tgax=-
tga2
СЕ CE
J
zi^i
J
zi У\
E\ D2 J z Jmm Jmm Jz
CE
J
ад _
J
ад
¦Anin ^y\
Таким образом, имеем:
формулы для определения положения главных осей инерции:
-2 J
tg2oi0 =
J -J
zi У\
tgax
J
zi У1
J -J
tga2 = -
J
*Anin *~Ai
где aj и a2 ¦ углы, образованные соответственно осью м(тах) и v(min) с
горизонтальной осью .
55
4.9 Порядок определения положения главных осей
и значения главных моментов инерции составных сечений
Проиллюстрируем его на конкретном составном сечении, состоящем из трех
элементов: прямоугольника, швеллера и уголка (рис.4.12)
Рекомендуется следующий порядок выполнения вычислений:
1. Провести параллельные между собой собственные центральные оси для
каждого элемента сечения ziOiyi.
2. Определить геометрические характеристики каждого элемента сечения
относительно собственных центральных осей, т.е.
Fi' JZi1 Jy, И JZiyi-
3. Провести произвольные оси z0O0y0, параллельные осям ziOiyi, и
определить координаты центра тяжести каждого элемента сечения в этих
осях, т.е. (9;.(z°;y;°).
4. Определить положение центра тяжести составного сечения по формулам
56
S ±Ы s
7 Уо _i=1_______ zo_______i=1_
с ~ j-, ~ n ' Ус ~ j-, ~ n
