Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
сечения всегда будет равна нулю.
5. Jp = J р2dF, но р2 =z2 + у2 поэтому
F
Jp = j(z2 +y2)dF = fz2dF +{y2dF = Jy+Jz
F F F
44
-z
dF
dF
У
У
О
z
->
Рис.4.3
Полярный момент инерции всегда равен сумме осевых моментов инерции, т.е.
4.4 Вычисление моментов инерции простых сечений
а) Прямоугольник.
Вычислим моменты инерции прямоугольника относительно центральных осей z и
у, совпадающих с осями симметрии (рис.4.4).
У 4
h/2
h/2
dy
У
Рис.4.4.
Для вычисления Jz выделим элементарную площадку в виде узкого
прямоугольника, параллельного оси z. При этом dF = b-dy и
45
А/2
А/2
Jz = \ y2dF = b f У2dy = 2b f y2dy = 2b
У
Очевидно, что Jv = -
' 12
Следовательно
-A/2 ,¦^=0.
A/2
M3
12
формулы для вычисления моментов инерции прямоугольника,
б) Треугольник.
Определим J треугольника (рис. 4.5). Для этого выделим
элементарную площадку в виде узкого прямоугольника, параллельного оси zx,
с площадью dF = b(yx
Из подобия треугольников имеем
frQO = ъ
h-ух h
Из этого соотношения находим b(yx ) = Ъ
А
и dF = Ь
А
dyv
Подставим dF в формулу для Jz и выполним интегрирование
Л, =\y2dF=b\\ Ь~У У^Уг =ъ
т.е.
J 7 -
21 12
h
f -.3
4 \
Zl_Zl 3 4 h
bti
12
- формула для вычисления осевого момента треу-
гольника относительно основания.
46
в) Круг.
Вычислим полярный момент инерции круга (рис.4.6).
Выделим элементарную площадку в виде тонкого кольца толщиной dp . При
этом dF = Inpdp и
J =\р2dF = 2п [рЗф = 271 - = .
Р У о 4 0 2 32
А
У !
Рис.4.6
Далее,
j<=jAj>=
учитывая
71 d4
что
а
J. = J,
получим
64
. Таким образом, окончательно имеем формулы
для вычисления моментов инерции круга:
4.5 Определение моментов инерции при параллельном переносе координатных
осей
Рассмотрим произвольное плоское поперечное сечение (рис.4.7) Пусть zOy -
произвольные центральные оси, a zxOxyx - оси им параллельные. Определим J
, J и J , если известны Jz, Jy и Jzy -моменты инерции относительно
центральных осей. Для этого
47
выразим координаты zx и у] произвольной площадки dF через координаты z и
у. Имеем :
z^=z + a, ух =у+Ъ.
Подставим уг в формулу для J и проинтегрируем:
Jz = J y\dF = \(y + b)2dF = \ y2dF + 2 b\ydF + b2\dF = Jz + 2bSz + b2F,
F F F F F
но Sz =0т.к. ось z - центральная. Поэтому J =JZ+Fb2. Аналогично,
находим J =Jy+ Fa2 и J =Jzy+Fab. Таким образом, окончательно
имеем формулы для определения моментов инерции при параллельном переносе
координатных осей:
JZi=Jz+Fb2
Jy=Jy+Fa2
=Jv+Fab
Осевой момент инерции сечения относительно произвольной оси равен осевому
моменту инерции относительно параллельной ей центральной оси плюс
произведение площади на квадрат расстояния между осями.
Центробежный момент инерции относительно произвольных координатных осей
равен центробежному моменту инерции
48
относительно параллельных им центральных осей плюс произведение площади
на координаты центра тяжести сечения в новых осях.
Из формул для J и J следует, что при а = О и Ъ = О они имеют
наименьшие значения. Следовательно, осевые моменты инерции относительно
центральных осей имеют наименьшие значения.
В заключение рассмотрим пример. Определим осевой момент инерции
треугольника относительно центральной оси, параллельной основанию
(рис.4.8).
Рис.4.8
6Аз j
Воспользуемся формулой Jz=Jz+Fb2 но J = -, a b = -h,
12 3
bhз 1
поэтому имеем: J = J - Fb2 =-------bh
J гг, 12 2
rh\2 bh3
36
т. e. осевой момент
инерции треугольника относительно центральной оси, параллельной
основанию, определяется по формуле
bti
J =
36
49
4.6 Определение моментов инерции при повороте координатных осей
Рассмотрим произвольное плоское сечение (рис.4.9).
У1
Пусть zxOxyx - произвольные координатные оси, a uOxv -повернутые оси на
угол а. Угол поворота а будем считать положительным, если поворот
осуществляется против часовой стрелки. Определим моменты инерции
относительно повернутых осей, т.е. Ju, Jv и Juv если известны J , J и J -
моменты инерции
относительно исходных осей. Выразим координаты и и v произвольной
элементарной площадки dF через координаты zx и ух. Из чертежа видно, что:
u = ОхА + АВ = zx cosa + ух sina ; v = ЕС - ВС = ух cosa - zx sina .
Тогда
Ju=\ v2dF - J(yx cosa - zx sina)2dF =
F F
= cos2 a J yxdF + sin2 a J zfdF - 2 sina • cosa J zxyxdF =
л
л
cos2a - J " sin2a.
zi^i
2 2
Аналогично можно получить формулы для определения Jv и Juv. Окончательно
имеем формулы для определения моментов инерции при повороте координатных
осей:
J =
Jz +J V Jz - J
zi У\ i zi У\
cos 2a - J. sin 2c:
2 2
Jz +J Jz -J
J,.=------------------------------------ -----------------cos2a + J ..
sin2c:
2 2 J -J
J... = --------------- sin 2a + J .. cos 2a
zi У1
zi У1
Складывая первые две формулы, получим:
J +J =J +J =Jn
U v z, у, p
Таким образом, сумма осевых моментов инерции при повороте координатных
осей не изменяется, т.е. является инвариантом.
4.7 Главные оси и главные моменты инерции
Осевые моменты инерции Ju и Jv являются функциями угла поворота осей a.
