Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
ординаты вниз, а отрицательные - вверх. Построенные таким способом
графики являются эпюрами внутренних усилий Q и М (рис. 3.2).
5.Проверить правильность построения эпюр. Для этого используют
дифференциальные зависимости при изгибе, которые мы сейчас и рассмотрим.
- парабола.
34
3.3 Дифференциальные зависимости при изгибе
Рассмотрим балку, загруженную произвольной нагрузкой (рис .3.4)
Рис.3.4
Выделим на участке действия положительной распределенной нагрузки элемент
балки CD, длиной dx. Под действием внешней нагрузки q(x) = q и
положительных усилий Q и М в сечении С и Q + dQ и M + dM в сечении D он
находится в равновесии (рис.3.5). Поэтому
'Z7 = Q + qdx-(Q + dQ) = О,
dx
- Мл- Qdx + qdx-- (М + dM) = О Из первого условия равновесия имеем
35
Если во втором условии равновесия пренебречь слагаемым второго порядка
малости, то получим
dM
dx
= Q
Продифференцируем это уравнение поэтому
d2M _ dQ
dx2 dx
но
dQ
dx
я-.
Полученные зависимости между усилиями и интенсивностью распределенной
нагрузки называются дифференциальными зависимостями при изгибе. Они
используются для контроля правильности построения эпюр Q и М.
Рассмотрим несколько частных случаев :
1. Если <7 = 0, то - = 0 и --= 0. Интегрируя эти уравнения,
dx dx
получим: Q = C0= const, а М = СХх + С2. Следовательно, на тех участках,
где нет распределенной нагрузки, эпюра Q ограничена прямой, параллельной
базовой линии, а эпюра М - наклонной прямой.
2. Если q(x) = <70 = const, то
dQ
dx
Яо и
d М
dx2
Яо-
Интегрируя эти уравнения, получим:
X
Q = q0x + C0 - линейная функция, а М = q0 - + Схх + D - парабола.
Построим графики функций Q и М при положительной и отрицательной нагрузке
q0 ( рис.3.6 ).
Из графиков видно, что на участке действия равномерно распределенной
нагрузки эпюра Q ограничена восходящей прямой, если <70 >0 или
нисходящей, если q0<0, а эпюра М -параболой, выпуклость которой
направлена в сторону действия нагрузки.
36
Рис.3.6
3. Так как = Q, то на тех участках, где функция момента М
dx
возрастает, поперечная сила Q положительная, а убывает -отрицательная. В
сечениях, где Q = 0, изгибающий момент М достигает экстремальных
значений.
4.Из геометрического смысла первой производной следует, что
Q = tgy, так как = Q. Следовательно, поперечная сила Q равна
dx
тангенсу угла наклона касательной к эпюре изгибающих моментов М в данном
сечении.
3.4 Особенности построения эпюр внутренних усилий в рамах
Рамой называется конструкция (система) состоящая из прямолинейных
стержней, соединенных между собой жесткими узлами (рис.3.7)
Вертикальные и наклонные элементы рамы называются стойками, а
горизонтальные - ригелями. Рама, у которой все элементы и нагрузки
расположены в одной плоскости, называется плоской. В сечениях элементов
плоской рамы из шести внутренних усилий отличными от нуля могут быть
только три N, Q и М. Следовательно, для плоских рам надо строить только
три эпюры внутренних усилий N, Q и М.
Эпюры в рамах строятся непосредственно на контурах рамы. Все правила
построения эпюр в балках применимы и для рам, если каждый прямолинейный
элемент ее рассматривать как балку,
37
помещая начало координат в крайней левой точке. При этом все вертикальные
элементы надо рассматривать справа, т.е. начало координат располагать
внизу. На эпюре изгибающих моментов не принято проставлять знаки. При
такой методике построения эпюры М она всегда будет располагаться на
растянутых волокнах.
Рис.3.7
Все правила контроля правильности построения эпюр в балках применимы и
для рам. Кроме того в рамах для контроля правильности построения эпюр
всегда проверяют равновесие узлов.
3.5 Особенности построения эпюр внутренних усилий для криволинейных
стержней
В сечениях плоских криволинейных стержней, как и в рамах действуют только
три усилия N, Q и М. Для N и Q сохраняется то же правило знаков, что и
для балок и рам. Для изгибающих моментов вводится новое правило знаков.
Изгибающий момент считается положительным, если он увеличивает кривизну
стержня. Для определения N и Q внешние силы надо проектировать
соответственно на касательную и нормаль к оси стержня.
Все эпюры в криволинейных стержнях строятся на контурах. Ординаты
откладываются вдоль нормалей к оси стержня. Положительные - наружу, а
отрицательные - внутрь. Эпюра изгибающих моментов М. строится только на
растянутых или на сжатых волокнах. Знаки на ней не ставятся.
38
В криволинейных стержнях, оси которых являются дугами окружностей, при
составлении функций N, Q и М на отдельных участках удобнее пользоваться
полярной системой координат.
Для проверки правильности построения эпюр в плоских кривых стержнях можно
использовать дифференциальные зависимости при изгибе, которые имеют вид:
dN Q dQ N dM
= --, - = q + - , -= Q.
dS r dS r dS
3.5 Особенности построения эпюр внутренних усилий в пространственных
рамах
В поперечных сечениях элементов пространственных стержневых систем могут
действовать все шесть внутренних усилий: N, Qy, Qz, М^ =Мх, Му, Mz. Все
