Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
входящим в симметрию точечной группы, добавляются еще трансляционные
преобразования.
Группа трансляций - это бесконечно повторяющийся перенос атомов (групп
атомов) вдоль какой-либо прямой на одно и то же определенное расстояние,
называемое периодом трансляции.
Произведение доли периода трансляции на операцию отражения в плоскости
симметрии порождает новое симметрическое преобразование - плоскость
скользящего отражения. Плоскость скользящего отражения - это совокупность
совместно действующих плоскости симметрии и параллельного ей переноса на
величину, равную доле периода трансляции вдоль плоскости. Ориентированная
в плоскости YZ плоскость скользящего отражения обозначается символом а, в
плоскости XZ - символом Ь, в плоскости XY - символом с.
Скольжение может быть направлено и вдоль диагонали параллелограмма,
построенного, например, на элементарных трансля-
20
Гл. 1. Структура и симметрия кристаллов
циях а, Ь. Если при этом перенос производится на половину длины диагонали
параллелограмма (а+ 6)/2, плоскость обозначают символом п, а если на
четверть длины диагонали параллелограмма (а + Ъ)/А - символом d;
плоскости d называют "алмазными",
та end
Рис. 1.5. Плоскость зеркального отражения т и плоскости скользящего
отражения а, с, п, d
так как они характерны для кристаллов со структурой алмаза (рис. 1.5).
Число рядом с фигуркой означает перемещение в долях периода трансляции.
Произведение доли периода трансляции на поворот вокруг оси порождает
винтовой поворот. Винтовой осью симметрии называется совокупность оси
симметрии и переноса вдоль этой оси, действующих совместно. После данной
операции симметрии исходная точка должна совместиться с другой,
идентичной первой, т.е. отстоящей на один или несколько периодов
трансляции. Винтовые оси симметрии есть, например, у деревьев и
определяют расположение ветвей на стволе, чешуек сосновой шишки и т. п.
Винтовые
Рис. 1.6. Винтовые оси симметрии 6\ и 62
оси симметрии в кристаллических структурах могут быть только порядков 2,
3, 4 и 6. Винтовая ось обозначается цифрой с цифро-
1.4. Основные типы кристаллических решеток
21
вым подстрочным индексом: цифра означает порядок оси, а частное от
деления индекса на порядок оси показывает, на какую долю трансляции
происходит перенос вдоль винтовой оси при повороте, соответствующем
действию данной оси (рис. 1.6).
1.4. Основные типы кристаллических решеток
Для каждой структуры характерен набор элементарных трансляций, или
трансляционная группа, которая определяет пространственную решетку.
В зависимости от соотношения величин и взаимной ориентации трех основных
трансляций а, Ъ, с получаются решетки, отличающиеся друг от друга по
своей симметрии. Симметрия ограничивает число возможных решеток. Все
кристаллические структуры описываются 14 трансляционными группами (14
основными типами кристаллических решеток Бравэ). Решеткой Бравэ
называется бесконечная закономерная система точек в пространстве,
образуемая трансляционным повторением одной точки.
14 решеток Бравэ отличаются друг от друга по форме элементарных ячеек и
по симметрии и подразделяются на 7 сингоний. Подразделение на сингонии
было введено еще в начале XIX века только на основании изучения внешних
форм кристаллов. Решая задачу о симметрическом расположении сферических
частиц (материальных точек) в пространстве, французский математик
0. Бравэ в 1848 г. доказал, что всего существует 14 основных типов
кристаллических решеток и пришел к указанному разделению на сингонии.
Симметрия кристаллического пространства ограничивает число возможных
решеток. Решетка должна быть инвариантной ко всем преобразованиям
симметрии, возможным для данного кристаллического пространства.
Однако пространственная решетка Бравэ еще не определяет положение атомов,
а описывает лишь геометрическое расположение точек в пространстве. Для
описания кристаллической структуры необходимо, помимо решетки, задать
также и симметрию базиса (атомов, расположенных в каждой точке
кристаллической решетки). Базис - это совокупность координат атомов,
расстояний между ними и направлений (углов) связей, которая повторяется в
окрестности каждой точки решетки одинаковым образом. Тем самым
учитывается положение любого атома в кристалле. Для некоторых простых
элементарных кристаллов (Ат, Na, ...) базис состоит лишь из одного атома.
Другие элементы образуют кристаллические структуры, в которых базис
примитивной ячейки содержит несколько атомов (например, 2 атома
составляют базис у кремния, 4 - у галлия). В веществах, состоящих из
атомов разного сорта, кристаллический базис содержит, по крайней мере,
одну молекулу вещества.
22
Гл. 1. Структура и симметрия кристаллов
Элементарные ячейки в решетках Бравэ выбираются так, чтобы:
1) их симметрия соответствовала симметрии всей решетки;
2) число прямых углов и равных сторон было максимальным;
3) объем ячейки был минимальным.
Вначале принцип вывода решеток Бравэ рассмотрим на примере двумерных
