Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
= L3 - объем кристалла. С помощью (8.90) можно получить важную формулу:
/Зтг2АД 1/3 гГ- .
kF=[--) = л/ 37Г %ЭЛ, (8.91)
Рис. 8.7. Поверхность Ферми для свободных электронов в пространстве
волновых векторов
откуда следует, что радиус сферы Ферми зависит только от концентрации
электронов. Подставляя (8.91) в (8.89), получим соотношение для энергии
Ферми:
eF = (Зтг2гае)2/3, (8.92)
2т0
из которого очевидна зависимость eF от концентрации и массы электронов.
Для скорости электронов, находящихся на поверхности Ферми и обладающих
соответствующей энергией, с помощью (8.88) получим:
ЙЙр Й , о . о /о
>р = - = - Зтгч 2Д т0 т0
(8.93)
204
Гл. 8. Электроны в металлах
8.8. Плотность электронных состояний.
Вырождение электронного газа в металлах
Распределение электронов по энергиям подчиняется статистике Ферми-Дирака
(8.78), и это обстоятельство обусловливает ряд свойств электронного газа,
отличных от свойств классического газа. Кроме функции распределения
Ферми-Дирака, для анализа электронной системы необходимо ввести функцию
плотности электронных состояний. В силу того, что число атомов и размеры
кристалла велики, из (8.83) следует, что разница между "соседними"
значениями волновых векторов Ak -> 0 и следует говорить не о дискретном,
а о квазинепрерывном спектре электронных состояний. Определим плотность
электронных состояний D(e) таким образом, чтобы в интервал энергий de
попадало dN электронных состояний:
dN = D(e) = de. (8.94)
Аналитический вид функции плотности электронных состояний D(e) в общем
случае неизвестен, однако для свободных электронов имеется простой закон
дисперсии (8.85). В координатах пространства волновых векторов
соотношение (8.85) может быть представлено как уравнение сферы (рис. 8.8)
k2x + ky + k2z = R2 (8.95)
с радиусом
*=М = ^- (8.96)
Значению энергии е соответствует сфера радиуса к с центром в начале
координат, значению энергии е+Ад - сфера радиуса к-\-Ак. Следовательно, в
сферический слой в пространстве волновых векторов с толщиной dk и с
объемом
dk
Ал k2dk = Ал k2-de (8.97)
de
попадают энергетические состояния в интервале от е до е + de. Каждому
вектору k (кх, ку, kz) отвечает элемент объема в к-про-странстве, равный
величине (27г/Т)3. Тогда число разрешенных электронных состояний,
попавших в сферический слой (8.97), будет равно
Ank2dk
Рис. 8.8. Изоэнергетические поверхности свободных электронов в
пространстве волновых векторов
8.8. Плотность электронных состояний
205
где множитель "2" учитывает спиновое вырождение электронов по энергинм -
в одном энергетическом состоянии сосуществуют 2 электрона с
антипараллельными спинами. Используя (8.96), можно записать
Подставляя (8.99) в (8.98), с учетом определения плотности электронных
состояний (8.94) получим:
где V - объем кристалла. Таким образом, для плотности электронных
состояний из (8.100) следует:
Плотность электронных состояний является монотонной возрастающей функцией
энергии (рис. 8.9).
Чем больше величина энергии, тем большее число электронных состояний
соответствует одинаковым по ширине интервалам энергии. Следовательно, с
увеличением энергии возрастает D кратность вырождения энергетических
состояний.
Рассмотрим электронный газ в твердом теле, находящемся при Т = 0.
Используем для анализа распределение Ферми-Дирака (8.78). Если энергия
электрона е < eF, то при Т -> 0 должно выполняться:
(8.99)
dN = D(e)de = 2
(8.100)
е > 0; е < 0.
(8.101)
Полное число электронов в системе при конечной температуре Т можно
подсчитать так:
ОО
de
е
(8.102)
Рис. 8.9. Плотность состояний свободных электронов
О
206
Гл. 8. Электроны в металлах
При е > eF и Т -> 0 из (8.78) получаем:
е - eF
ехр V k Т ) ^ еС° = °°' Я?) °- (8.104)
Из (8.103) и (8.104) следует, что при абсолютном нуле электроны,
в соответствии с принципом Паули, последовательно занимают все
энергетические состояния ниже энергии Ферми, и, напротив, вакантны все
электронные состояния с энергиями е > eF. Для этого случая соотношение
(8.102) можно переписать так:
IV = J D(e)de. (8.105)
о
Поставляя (8.101) в (8.105), получим:
3/2
V /2га0\ з/2 ( ч
Зтг2 V К2 ) ?f '
либо
4р =
где пе = N/V - концентрация электронов в твердом теле. Выражение (8.107)
совпадает, естественно, с формулой (8.92). Рассчитаем среднюю энергию
электронов при Т = 0:
i? = V JtdN = 4 ]eD(e)ds = 4^4 (^) ' jeX'lk =
2тпп
(8-108)
5 2тг2пе \ h2
Сравнение (8.108) с (8.107) позволяет получить важное соотношение
е = (8.109)
D
Средняя энергия электронов при Т = 0 отлична от нуля и для различных
кристаллов составляет величину 4-6 эВ.
Свободный электронный газ при Т = 0 представляет собой пример полного
вырождения квантовых состояний кристалла. Действительно, все электронные
состояния с энергиями 0 ^ е ^ еР
8.8. Плотность электронных состояний
207
полностью заняты, при этом для электрона вероятность занять состояние с
той или иной энергией из указанного интервала равна единице. Однако
различить каким-либо образом тот или иной электрон из всей их
