Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
электронного состояния, то получим функцию распределения Ферми-Дирака:
/И =
1
1 + ехр ((е - р)/квТ)
(8.78)
Пример ее температурной зависимости показан на рис. 8.6. При абсолютном
нуле химический потенциал р = eF, поскольку в пределе при Т -т- 0 функция
f(e) меняется скачком от 1 (заполнен-
/
1,00
0,75
0,50
0,25
5000 К о к
--500 К
Классическое
jk распределение
1 1 1 1 х - ' 1
0
1
e/kR, 104К
Рис. 8.6. Функция распределения Ферми-Дирака при различных температурах
для случая TF = ев/кв = 5 • 104 К
ный уровень) до значения, равного 0 (вакантный уровень) при е = р = eF.
При любой температуре Т > 0 при е = р f(e) = 1/2.
Из вида функции f(e) (рис. 8.6) можно также определить энергию Ферми как
энергию наиболее высокого еще занятого электронами состояния при
абсолютном нуле.
Область функции распределения, соответствующая большим энергиям ("хвост"
функции распределения), когда е - р квТ,
8.7. Газ свободных электронов в трехмерном случае
201
отвечает большим значениям экспоненты в (8.78), следовательно, можно
пренебречь единицей и приближенно получить
/(е) рй ехр ^ • (8-79)
Это соотношение соответствует классической функции распределения
Больцмана.
8.7. Газ свободных электронов в трехмерном случае
Важно рассмотреть более реалистичный случай трехмерного кристалла с
числом атомов, равным N. Для него уравнение Шре-дингера имеет вид
h ( d2 d2 d2\
-JN + NN + Nn)1.1'к{г)=?кфк{т), (8.80)
2тоо \dx2 dy2 dz2
где уД(г) - волновая функция электрона с волновым вектором к. Если
рассматривать кристалл в виде куба со стороной L, то он представляет
собой трехмерную потенциальную яму для электронов, и решением уравнения
Шредингера (8.80) будет трехмерный аналог волновой функции (8.47):
, . , /ЖПт \ /ТГПУ \ (ЖTlz \
фп{ г) = Asm sm \~jf~y) sm (8-81)
где nx, ny, nz - положительные целые числа. Необходимо учесть конечность
размеров, периодичность и дискретность строения кристалла. Для этого
применяют периодические граничные условия на волновую функцию (8.81)
(аналогично случаю фононов в трехмерной решетке, гл. 5).
Решение, которое удовлетворяет уравнению (8.80) и граничным условиям
(5.28), представляет собой плоскую волну:
Фк(г) = ехр (г(к, г)) (8.82)
при условии, что компоненты волнового вектора к пробегают дискретный ряд
значений:
ку - 0,
27Г. , 4д 2жпг жНх
i -! • ¦; ± ; ±
Т' L L L
27Г. , Аж 2жпу ж Nv
i i • • ¦; ± ; ± У
Т' L L L
27Г. , Аж 2ж nz ж Nz
i i • • ¦; ± ; ±
Т' L L L
(8.83)
где пх, пу, nz - положительные целые числа; Nx, Ny, Nz - числа атомов в
атомных рядах вдоль z-, у-, ^-направлений. Тем самым
202
Гл. 8. Электроны в металлах
компоненты волнового вектора к являются квантовыми числами данной задачи
наряду со спиновыми квантовыми числами. Для того, чтобы убедиться в
справедливости решения (8.82), представим его в виде
(12ттпх(х + L)\ ехр (гкх(х + L)) = ехр I ---------------- I =
/ i2nnxx\ (i2nnxx\
= ехр I --- I ехр (г2ттпх) = ехр I --- I = ехр (гкхх).
(8.84)
Подстановка (8.82) в уравнение (8.80) позволяет получить собственные
значения энергии электрона с волновым вектором к:
(8-85)
Модуль волнового вектора связан с длиной волны известным соотношением:
Понятию импульса р частицы, одному из основных в классической механике, в
квантовой механике соответствует оператор импульса
д
р = -W = -Ш-. (8.86)
о г
Действуя оператором (8.86) на волновую функцию свободного электрона
(8.82), получим:
д
рфк(г) = ~ih- ехр (г(к, г)) = Ккфк(г). (8.87)
Получена задача на собственные функции и собственные значения, причем
волновая функция уД(г) является собственной функцией оператора р, а его
собственным значением является вектор р = Як. Скорость частицы в
состоянии с волновым вектором к имеет величину
Як
v =-. 8.88
то0
Квантовые состояния системы из N свободных электронов удобно представить
в трехмерном пространстве волновых векторов (к-пространстве). Занятые
состояния будут определены точками внутри сферы в k-пространстве, а
поверхности этой сферы будет соответствовать энергия eF. Сама
поверхность, проведенная через
8.7. Газ свободных электронов в трехмерном случае
203
концы волновых векторов максимальной длины kF, называется поверхностью
Ферми. В случае свободных электронов поверхность Ферми представляет собой
сферу радиуса kF (рис. 8.7), который можно определить из соотношения
(8.85)
=
й2
--к2
/Ъ *Г"\ Ф
2топ
(8.89)
Из (8.83) следует, что пространство волновых векторов дискретно, так что
каждому вектору кга -и- (кх, ку, kz) отвечает элемент объема в к-
пространстве, равный величине (2tt/L)3. Тогда, если взять частное от
деления всего объема к-пространства, содержащего только разрешенные
электронные состояния, на элемент объема, соответствующий одному
разрешенному состоянию, то мы получим число разрешенных состояний,
которое, с другой стороны, должно быть равно числу электронов:
,(4/3)_тгк3_ V ' (2ТГ/L)
F _ _J гм гм
Зтг2 F '
(8.90)
где множитель 2 появился, чтобы учесть спиновое вырождение по энергии, V
