Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
ранга, а коэффициент т]у будет иметь смысл одной из компонент тензора
четвертого ранга, ответственного за эффект магнетосопротивления.
8.5. Энергетические уровни свободных электронов в одномерном случае
Модель свободного электронного газа получила дальнейшее развитие на
основе квантовой механики. Рассмотрим поведение газа свободных
электронов, находящихся в гипотетическом одномерном "кристалле", учитывая
принципы квантовой механики. Движение электрона массы то ограничено в
этом случае прямой длины L, в начале и конце которой находятся
потенциальные барьеры бесконечной высоты. Волновая функция и
энергетические уровни
194
Гл. 8. Электроны в металлах
электрона могут быть получены из решения уравнения Шредин-гера
Нф = еф. (8-41)
Пусть потенциальная энергия электрона равна нулю (или некоторому
постоянному значению, от которого можно начать отсчет), тогда оператор
энергии (гамильтониан) содержит только член, связанный с кинетической
энергией:
Я =
Р
2тол
(8.42)
где дифференциальный оператор импульса в одномерном случае имеет вид
(8.43)
р = -ih-. ax
Подставляя (8.43) в (8.42) и затем - в (8.41), получим:
Я/. п2 d2^n{x) _
ыфп - л ? - ?-пФт
2т,п ахг
(8.44)
где еп, фп - энергия и волновая функция электрона в состоянии п.
Граничные условия имеют вид:
фп{ о) = 0; фпЩ = 0,
(8.45)
поскольку на границах прямой находятся потенциальные барьеры бесконечной
высоты (рис. 8.4). Волновая функция фп будет
Рис. 8.4. Первых три энергетических уровня (штриховые линии) и
соответствующие волновые функции (сплошные линии) свободного электрона,
движение которого ограничено линией длиной L. Энергия отложена в единицах
Й2 / 7Г N 2
?п = 2шв \ь)
удовлетворять уравнению Шредингера (8.44) и граничным условиям (8.45),
если она имеет вид гармонической (синусоидальной) функции
8.5. Энергетические уровни свободных электронов
195
'Фп(х) ~ sin (kx)\x=L = sin ( Щ-х
c=L
= sin ( ^L ) = 0 =>
2тГ 1
=> - L = 7гn, или L = -nXn, (8.46) Л 2
т. e. вдоль расстояния распространения волны в кристалле должно
укладываться целое число полуволн. Окончательно вид волновой функции
можно записать так:
фп[х) = Asm
(8.47)
где А - постоянная амплитуда. Подставляя (8.47) в (8.44), можно получить
условия, при которых волновая функция фп будет удовлетворять уравнению
Шредингера:
(8,48)
dx2
= -А
L )
sm
L
следовательно,
П2
2тол
7ГП\ 2
т)
(8.49)
Соотношение (8.49) представляет собой спектр собственных значений энергии
электрона в одномерном твердом теле. Очевидно, что энергия есть
квадратичная функция квантового числа п (рис. 8.5).
Необходимо выяснить, как распределены N электронов по уровням энергии
данного одномерного кристалла. Из принципа Паули следует, что никакие два
электрона не могут иметь одинаковые квантовые числа. В одномерном твердом
теле свободный электрон (электрон проводимости) имеет квантовые числа п и
ms = ±1/2 (п - целое положительное число).
Обозначим через nF квантовое число наивысшего занятого энергетического
уровня.
Будем последовательно заполнять электронами энергетические уровни,
начиная с низшего, которому соответствует п = 1, до тех пор, пока не
разместятся все N
Рис. 8.5. Зависимость энергии электрона от квантового числа п для
одномерной модели свободных электронов. Энергия отложена в единицах
Й2 / 7Г \ 2
?п ~ 2т0
НУ
196
Гл. 8. Электроны в металлах
электронов. Предположим для удобства, что N - четное число. Тогда
выполняется: N = 2nF. Введем определение энергии электронов,
соответствующей высшему заполненному уровню - энергии Ферми, которая для
одномерной модели свободных электронов, с учетом (8.49), будет иметь
значение
Для описания свойств идеального газа вполне корректно можно применять
закон распределения Максвелла-Больцмана. Концентрация электронов в
металле в 104 раз больше, чем концентрация атомов в газе при нормальных
условиях. Заполнение вакантных электронных состояний происходит при
действии принципа Паули. Поэтому для электронов в металле классическая
статистика не является правильным приближением. В применении к электронам
квантовая статистика требует включения таких положений, как:
1) неразличимость электронов;
2) единственность квантового состояния электрона.
Поскольку в данном состоянии может находиться только один
электрон, то при большом числе электронов окажутся занятыми состояния с
большими квантовыми числами. В этом состоит существенное отличие
статистики электронов в твердом теле (статистики Ферми-Дирака) от
классической статистики, для которой любое число частиц может иметь
одинаковые энергию и импульс.
Как изменится состояние электронов при повышении температуры? Вследствие
увеличения кинетической энергии электронного газа происходит процесс
перехода электронов на энергетические уровни, которые были вакантными при
абсолютном нуле. Напротив, освобождается часть уровней, занятых при
абсолютном нуле. Установление термодинамического равновесия в такой
системе определяются функцией (распределением) Ферми-Дирака /(е), которая
