Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
пространства. Определим все возможные операции данного типа симметрии.
Исчерпывающий список элементов точечной симметрии включает в себя:
- плоскость симметрии (плоскость зеркальной симметрии);
- центр симметрии (центр инверсии);
- оси симметрии определенного порядка;
- инверсионные оси симметрии.
Плоскостью симметрии т (от англ. the mirror - зеркало) называется
воображаемая плоскость, которая делит фигуру на две
1.3. Точечная и пространственная симметрия
13
зеркально равные части. В основном, будем применять международную систему
обозначения точечных групп (по Герману-Могену), которая распространена
наиболее широко. Расширенные обозначения характерны для учебной символики
Бравэ, в которой записывают формулу симметрии с перечислением всех
элементов симметрии кристалла. Плоскость в символике Бравэ обозначается
буквой Р. Во многих случаях удобна система обозначений по Шен-флису.
Символы точечных групп симметрии для всех названных символик приведены в
приложении 1.
Центром симметрии 1 (С в символике Бравэ) называется особая точка в
центре фигуры, характеризующаяся тем, что любая проведенная через нее
прямая встречает одинаковые (соответственные, гомологичные) точки по обе
стороны и на равных расстояниях от центра.
Осью симметрии п (га-го порядка) называют прямую линию, при повороте
вокруг которой на определенный угол р> фигура совмещается сама с собой.
Число п - порядок оси - показывает, сколько раз фигура совмещается сама с
собой при повороте вокруг этой оси на 360°:
В символике Бравэ ось симметрии га-го порядка обозначается символами Ln.
Докажем, что в однородной кристаллической среде возможно существование
осей симметрии только определенного порядка. Пусть на срезе кристалла
(рис. 1.3) существует закономерное расположение точек такое, что из
исходной точки А\ все остальные
Рис. 1.3. К доказательству невозможности оси симметрии пятого порядка в
кристаллической среде
вдоль данного атомного ряда могут быть получены путем последовательной
трансляции на кратчайшее расстояние а. Кроме того, пусть перпендикулярно
плоскости чертежа в точке А\ проходит ось симметрии порядка п. Тогда в
каждой гомологичной точке ряда Ai, А2, Дз, ... тоже проходит такая же
ось. Если поворот на угол р вокруг оси симметрии в точке А\ переведет
точку А2 в точку В\, то такой же поворот вокруг оси в точке А2 переведет
точку А\
14
Гл. 1. Структура и симметрия кристаллов
в положение В2. Точки В\, В2, В3, ... также должны образовать рнд
решетки, параллельный рнду А\, А2, A3, ..., т.е. расстоя-
нин \B\B2\, |В2В31, ..., должны составлять целое число
векторов
трансляций а. Следовательно, выполняется условие
\B1B2\ = Na, (1.6)
где N - целое число. Из рис. 1.3 следует, что
\В\В2\ = N а = а - 2а cos ip, (1-7)
откуда
1 - N , .
cos у = 2 • (1-8)
Из неравенства 1 ^ cos ip ) -1 и (1-8) получаем все разрешенные значения
(табл. 1.1).
Таблица 1.1. Порядок осей симметрии, разрешенных в кристаллах
N -1 0 1 2 3
cos ip 1 1/2 0 -1/2 -1
V 0° 60° 90° 120° 180°
Порядок оси симметрии п 1 6 4 3 2
Таким образом, условию периодичности и непрерывности ряда гомологичных
точек удовлетворяют только оси симметрии порядков 2, 3, 4 и 6. Оси
симметрии порядков пятого, седьмого и выше в кристаллах невозможны, но
они характерны для так называемых квазикристаллов, а также биологических
объектов. "Можно думать, - пишет академик Н.В. Белов, - что пятерная ось
является у мелких организмов своеобразным инструментом борьбы за
существование, страховкой против окаменения, против кристаллизации,
первым шагом которой была бы "поимка" решеткой".
Рассмотрим действие инверсионных осей симметрии. Инверсионная ось
симметрии га представляет собой совместное действие - произведение оси
симметрии и центра симметрии (под операцией произведения точечных
элементов симметрии будем понимать результат симметричного
преобразования, полученный последовательным выполнением обоих элементов
симметрии):
га = га X 1, (1.9)
при этом должны образоваться качественно новые элементы симметрии. В
символике Бравэ ось симметрии га порядка обозначается символом L.n.
1.3. Точечная и пространственная симметрия
15
Не все так образованные элементы симметрии являются новыми. Можно
показать, что инверсионная ось первого порядка эквивалентна центру
симметрии (центру инверсии); действие инверсионной оси второго порядка
тождественно плоскости симметрии, перпендикулярной оси; операция 3
эквивалентна действию оси третьего порядка и центра симметрии; операция 6
также не дает нового элемента симметрии, поскольку эквивалентна
последовательному действию оси третьего порядка и плоскости симметрии.
Таким свойством обладает только ось 4, действие которой иллюстрирует рис.
1.4. В данном случае, например, грань А поворачивается на 90° в
промежуточное положение и окончательно отражается в центре, переходя в
грань В. Аналогично связаны между собой и остальные грани. Отметим также,
что инверсионная ось четного порядка 2п одновременно является простой
