Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
^iklm о - ot OXk
иi = ехр [i(ut - КрХр))
(6.57)
(6.58)
(6.59)
pU) U{ - Giklm TljnTl^Up
(6.60)
либо
k,l,m
6.6. Упругие волны в кубических кристаллах
135
величины скоростей упругих волн, связанный с другими эффектами, например,
пьезоэлектрическим (описан в гл. 7), учитывают в (6.60) дополнительно.
Система (6.60) будет совместной и иметь нетривиальное решение, если равен
нулю ее детерминант:
det I Ciklm'IT-m IT-k I -
(6.61)
Это соотношение представляет собой характеристическое кубическое
уравнение, корни которого - 3 собственных значения, определяющие
взаимосвязь упругих констант и скоростей упругих волн. Рассмотрим,
например, распространение упругих волн в направлении [110] кубического
кристалла. Поскольку вектор направления распространения - единичный:
2,2,2 1 П1 + п2 + П3 - 1)
(6.62)
в этом случае выполняется
п! =п2= п3 = 0.
(6.63)
С учетом (6.63) и значений тензора упругих постоянных (6.31) уравнение
(6.61) принимает вид
2 (Си + С44) - Pv3n 2 (^12 + С44)
2 (С 12 + С44)
2 (Си + C44)pV.
2
зв
о
С44 - pv.
= 0.
(6.64)
Это уравнение распадается на два - линейное и квадратное отно-
сительно pv зВ:
С44 - pv*B = 0
-(Си + С44) - pv.
-(-(С12 + С44| =
- ( 2 ^44) _ Pvзв + 2^12 ^14 ^ Х
X | -(Си + С44) - pvзВ - - (C*i2 + С44 ) - 0 (6.65)
136
Гл. 6. Упругие свойства кристаллов
с корнями:
2 п ( [С**
pvf = 644 I Hi = у -
2 1 (Г< Г< \ ( /Сц - С\2
РЩ = г2(Сп - CI2) ^ = ]j 2р
2 _ 1 (Г< I Г< I ОН'' \ _ [Сп~+~Сг2~+^С44\
Pvз - 2 ^ 11 12 ^С44) ( из - у------2р--------) '
(6.66)
Решения (6.66) показывают связь фазовых скоростей упругих волн и
определенных комбинаций упругих модулей. Кроме того, необходимо
определить направления смещений, создаваемых этими волнами и, тем самым,
выяснить типы волн. Для этого будем последовательно подставлять каждое из
решений (6.66) в уравнения Кристоффеля (6.60). Начнем с первого из
решений (6.66):
^-(Сц + С44) - С44^ Mj ^ + - (Сц + С44) 4 ^ + 0 • Ид ^ = 0,
2 {С\2 + С44)и1 ^ + ^2 (^П С*44) - С*44^ 4 ^ + 0 • Ид ^ = 0,
0 • и[^ + 0 • 4^ + (С44 - С44)Нд1^ = 0.
(6.67)
Уравнения (6.67) можно преобразовать так:
au^ + bu^ = 0, bu+ au^ = 0, (6.68)
где a и b - определяются комбинацией модулей Сц, Сц и С44.
Система (6.68) совместна, если 4^ = 4^ = 0- Полагая, что
вектор смещения также имеет единичную длину:
И1 + и2 + из = 1) (6.69)
для компонент вектора смещения, соответствующего первому из собственных
значений (6.66), окончательно получим:
41} = 41} = о, 41} = 1. (6.70)
Поскольку поляризация данной волны направлена вдоль направления [001],
перпендикулярного направлению распространения [110], в данном случае
распространяется упругая сдвиговая (поперечная) волна, ее тип обычно
обозначают буквой S (shear). Подставляя оставшиеся собственные значения,
можем получить аналогичным путем направления двух других собственных
векторов.
6.6. Упругие волны в кубических кристаллах
137
Общий результат для направления распространения [110] состоит в том, что
распространяются три независимых упругих волны, из которых одна -
продольная L (longitudinal) и две - сдвиговые Si и S2, скорости всех трех
волн различны и заданы определенными комбинациями упругих постоянных
(табл. 6.3).
Таблица 6.3. Упругие волны в направлении [110] кубических кристаллов
Направление смещения (поляризация) Тип волны Скорость
[001] Si 1 V р
[ПО] S2 /Сп - С12 V2 V 2 р
[110] L /Сц + С12 + 2С44 2 р
Из анализа табл. 6.3 следует, что, измерив скорости упругих волн в данном
направлении, можно получить 3 независимых уравнения для определения всех
трех упругих констант кубического кристалла. Ясно также, что смещения
всех трех волн составляют тройку ортогональных векторов. Однако в
направлении [100] можно получить еще более простые соотношения (табл.
6.4).
Т аблица 6.4. Упругие волны в направлении [100] в кубических кристаллах
Направление смещения (поляризация) Тип волны Скорость
Лежит в плоскости (100) 5 1 V р
[100] L /ей 2 V р
Из табл. 6.4 ясно, что скорость продольной волны определяется только
константой Сц, а скорость сдвиговой - только константой С44. Сдвиговые
волны в данном направлении неразличимы по скоростям, их поляризация лежит
в плоскости (100), перпендикулярной направлению распространения.
Направления, в которых скорости сдвиговых волн одинаковы, называются
акустическими осями.
138
Гл. 6. Упругие свойства кристаллов
Качественно аналогичные результаты могут быть получены и для других
направлений в кристалле:
1) распространяются три независимых упругих волны, каждая со своей
скоростью. В частных случаях акустических осей скорости сдвиговых волн
совпадают;
2) упругие смещения, соответствующие этим волнам, образуют ортогональную
тройку векторов.
Распространение волн в направлениях акустических осей подобно случаю
изотропной упругой среды, для которой существуют только две не равных
нулю константы:
Из (6.71) следует, что при Сц ~ Сц выполняется С44 -> 0, т.е. такое
твердое тело теряет способность противодействовать сдвиговым деформациям,
