Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зиненко В.И. -> "Основы физики твердого тела." -> 43

Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.

Зиненко В.И., Зиненко В.И., Сорокин Б.П., Турчин П.П. Основы физики твердого тела. — Физматлит, 2001. — 331 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovifiziktverdogotela2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 110 >> Следующая

представить в матричной форме:
(<71<72<7з<74<75<7б) =
/ Си
С\2 С12
О
о V о
Для кубических кристаллов легко определить объемный модуль упругости,
выраженный через макроскопические упругие постоянные. Пусть кристалл
подвергается всестороннему растяжению, так что остаются ненулевыми только
такие компоненты деформации:
?
ец = е22 = езз = -• (6.34)
Подстановка (6.34) в (6.32) дает плотность упругой энергии в этом случае:
4П = -Cijkieijeki = х(Сц + 2С42)?2. (6.35)
2 6
Объемный модуль упругости можно определить с помощью соотношения
W = ^ср. W = ^кх2^ .
Сравнивая (6.36) и (6.35), окончательно получим:
В = ^{Сп + 2С12). (6.37)
6.36
С\2 С*12 0 0 0 \ (61 ^
Си С*12 0 0 0 е2
С*12 Си 0 0 0 ез
0 0 С44 0 0 е4
0 0 0 С44 0 еб
0 0 0 0 С44 / \ е6 )
128
Гл. 6. Упругие свойства кристаллов
Сжимаемость х определяется как величина, обратная объемному модулю
упругости: х = В-1. Физически объемный модуль упругости является мерой
напряжений, возникающих в кубическом кристалле при гидростатическом
сжатии или всестороннем однородном растяжении.
6.5. Вычисление упругих постоянных кубических кристаллов
Рассмотрим случай ионного кубического кристалла со структурой типа NaCl.
При деформации кристалла меняется его потенциальная энергия, для
вычисления которой необходимо знать, как движутся атомы. Будем
предполагать приближенно следующий простой закон взаимодействия: между
соседними атомами действуют только центральные, т.е. действующие вдоль
линии, соединяющей два соседних атома, силы, причем природа этих сил -
кулоновская. Предполагается учесть взаимодействие каждого атома с
ближайшими к нему и следующими за ближайшим соседями (рис. 6.7).
Представим, что каждая пара атомов связана
rt
Рис. 6.7. Модель ионного кристалла с центральным взаимодействием
пружиной. Все пружинки между атомами Na и С1 должны иметь одинаковую
жесткость Пружинки между двумя атомами Na и двумя атомами С1 могут иметь
разную жесткость, но для упрощения представим, что их жесткость одинакова
и равна к2-
На рис. 6.7 показана одна из базовых плоскостей кристалла. Предположим,
что в кристалле существует однородная деформация Cij. В общем случае
будут существовать все компоненты, но пока
6.5. Вычисление упругих постоянных кубических кристаллов 129
будем рассматривать только деформации с тремя компонентами: ец, ej2, е22-
Если один из атомов выбрать за начало координат, то перемещение любого
другого атома в плоскости ху будет задано уравнениями
Обозначим номером 1 атом натрия с координатами х = 0 и у = О (рис. 6.8).
Обозначая расстояние по горизонтали и вертикали че-
Рис. 6.8. Смещения атомов в плоскости ху при деформации кристаллов
рез а, для ближайших и следующих за ближайшими атомов в соответствии с
рис. 6.8 получим компоненты смещений, приведенные в табл. 6.1.
Вычислим энергию, запасенную при деформации в упругих связях атомов.
Например, для горизонтальной пружинки между атомами 1 и 2 получим:
Mi _ ецж + ему, и2 = е12х + е22у.
(6.38)
з
а
(6.39)
С точностью до членов первого порядка ^-перемещение атома 2 не
вызываетизменения длины пружинки между атомами 1 и 2. Одна-
130
Гл. 6. Упругие свойства кристаллов
Таблица 6.1. Смещения атомов в плоскости ху при деформации кубического
кристалла
Атом Координаты атомов "1 "2 k
1 0, 0 0 0 -
2 а, 0 еца e2i a k\
3 а, а (ей + ei2)a (e2i + e22)a k2
4 0, а e12a e22a k\
5 -а, а (-ей + ei2)a (-e2i + e22)a k2
6 -а, 0 -eua -e2i a k\
7 -а, -а -(ей + ei2)a - (e2i + e22)a k2
8 0, -а -e12a -e22a k\
9 а, -а (ей - ei2)a (e2i - e22)a k2
ко, чтобы вычислить энергию деформации диагональной пружинки, нужно
учесть изменение длины пружинки между атомами 1-3. Исходя из рис. 6.8,
запишем для новой длины пружинки 1-3:
I - (a -Г i/j) (ф 1^2) = ~Г 2сш2 14 ~
~ 2(а2 + au\ + (1112),
При записи (6.40) учтено, что компоненты смещений малы по сравнению с
межатомным расстоянием, благодаря чему можно пренебречь квадратами этих
величин. Тогда для атома 3 смещение в результате деформации составит
Д/ = |u*3)| = -^={щ + и2), (6.41)
л/2
и для энергии диагональной пружинки, связывающей атомы 1 и 3, с учетом
табл. 6.1, получим:
W13 = 7^2|u*3)|2 = ^k2a2(e11 + e2i + ei2 + е22)2- (6.42)
Чтобы получить полную энергию всех пружинок в плоскости ху, необходимо
записать сумму из 8 слагаемых вида (6.39) и (6.42).
6.5. Вычисление упругих постоянных кубических кристаллов 131
Обозначая эту энергию через Wo, получим: a2 ( 1
Wo = - ( k\e\-y + -/гг(е11 + e2i + ei2 + е22)2 + &ie22+
+ 2^2(611 - e2i - ei2 + е22)2 + + -fc2(en + e2i + ei2
+ e22)2 +
+^ie22 + 2^2^ei1 - e<21 ~ 612 e22)2^ • (6-43)
Хотя мы рассматриваем только х- и ^-компоненты деформации, вклад в них
дают "пружинки"-диагональные соседи, расположенные также вне плоскости
ху. Таких соседей - 8. Выражение для удлинения таких диагональных пружин
будет аналогично (6.41), но в него должна быть включена компонента И3:
д7=-^=("1 + Из), А/=-^=(и2 + Из). (6.44)
Однако в соотношения для энергии взаимодействий в плоскости ху величина
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed