Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зиненко В.И. -> "Основы физики твердого тела." -> 42

Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.

Зиненко В.И., Зиненко В.И., Сорокин Б.П., Турчин П.П. Основы физики твердого тела. — Физматлит, 2001. — 331 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovifiziktverdogotela2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 110 >> Следующая

парные индексы могут быть записаны в матричной форме так (обозначения
Фохта):
з з
(6.20)
k=1/=1
11
22
33
3,
4,
5,
6,
2
1
23,32
13,31
12,21
(6.21)
Тогда уравнении (6.20) в матричной форме примут вид
Va = Cal3el3; а, /3 = 1,... , 6. (6.22)
6.3. Закон Гука и упругие постоянные кристаллов
125
Закон Гука может быть представлен иначе: каждая компонента деформации
линейно связана с каждой компонентой напряжений:
^ij - ^ijkl&kl' (6.23)
Коэффициенты Sijki в (6.23) образуют тензор 4 ранга и называются упругими
податливостями. Размерность этих величин [S] = [м2/Н]. Закон Гука в форме
(6.20) обычно применяют для описания процессов в условиях постоянства
деформаций, или в механически зажатом кристалле. Форма (6.23) применяется
в условиях свободных деформаций кристалла (кристалл механически свободен)
и малости механических напряжений.
Найдем плотность упругой энергии твердого тела, подвергнутого
механическому напряжению. Для случая, когда изотропное упругое тело с
жесткостью к под действием силы F деформировано на величину х, работа,
затраченная на такую деформацию, может быть вычислена с помощью
известного соотношения:
w = -кх2. (6.24)
Аналогично для анизотропного твердого тела плотность упругой
потенциальной энергии, запасенной за счет внутренних напряжений в
материале в любой его единице объема, может быть представлена так:
~ CijkiCijCki. (6.25)
Дифференцируя (6.25) по деформации, можно получить выражение для тензора
напряжений (6.20):
_dW_lf деы
&ij - -¦ - 2 у
- ~(Cijkieki + CijkieijSkiSij) - Cijkiekh (6.26)
где Sik - символ Кронекера.
Дважды дифференцируя по деформации соотношение (6.25) или один раз -
соотношение (6.26), получим определение тензора упругих постоянных:
с да'3 ff'w (6 "Ч
6tJkl - д - д д-• (6.27)
ОСЫ OCijOCkl
Из соотношения (6.27) следует, что порядок дифференцирования не важен,
благодаря чему пары индексов ij и Ы могут быть переставлены без изменения
тензора Cijki- Данное обстоятельство уменьшает число независимых
компонент тензора, так что, например, С1233 = С3312 и т. п. В результате
в самом общем случае низкосимметричных кристаллов тригональной симметрии
вместо 36 остается 21 независимая компонента тензора упругости.
126
Гл. 6. Упругие свойства кристаллов
6.4. Упругие постоянные и упругий модуль всестороннего сжатия кубических
кристаллов
Число независимых упругих постоянных зависит от точечной симметрии, и для
самых высокосимметричных кристаллов - кубических - минимально и равно
трем: Сц, С12, С44. Для доказательства представим в явном виде плотность
упругой энергии:
W = -Cijkl€ij€kl = ~ (Cllliell + С*2222е22 + СзЗЗЗезз +
+ 2Сц12еце12 + ... + 2Сц22еце22 + • • • + 4СДз2зе2з +•••)•
(6.28)
Координатные оси X (УД), Y (Х2), Z (Уз) в кубических кристаллах
эквивалентны, поскольку переводятся одна в другую действием элементов
симметрии, например осью симметрии третьего порядка (четыре таких оси
непременно присутствуют в любой из групп симметрии кубических
кристаллов). Физические свойства вдоль эквивалентных направлений также
должны быть одинаковы. Например, должна быть одинакова жесткость на
растяжение как в направлении оси X, так и осей Y и Z. Следовательно, если
изменить определения осей в выражении (6.28), энергия измениться не
должна. Поэтому для кубического кристалла должны выполняться равенства
СДш = СД 222 = СДззз- (6.29)
Кубический кристалл симметричен при отражении относительно любой
плоскости симметрии, перпендикулярной любой из осей координат. Ничего не
должно измениться, если заменить, например, у -т- -у. Но такое изменение
меняет компоненту деформации еху -т- -еху, так как перемещение в
направлении -\-у теперь должно происходить в направлении -у. Чтобы при
этом не изменялась энергия кристалла, СД112 должно превратиться в -Сщг-
Однако отраженный кристалл не отличается от начального, поэтому должно
выполняться
СД112 = -СД112 = 0. (6.30)
Нулю равны только те компоненты упругости кубического кристалла, для
которых один и тот же индекс (ж, или у, или z) координатной оси
встречается нечетное число раз (один или три). Кроме того, если заменить
все индексы х на у (или z) и наоборот, компоненты упругости кубического
кристалла будут инвариантны относительно такой замены. Следовательно,
остаются лишь три
независимых и не равных нулю компоненты тензора упругих по-
стоянных:
__ s~i _ s~i __ s~i __ /~1
1111 - 02222 - O3333 - Ьп - 022 - O33,
Cl 122 = C2233 = Сцзз = С12 = СДз = СДз, (6.31)
/~1 /~1 /~1 /~1 /~1
2323 - 01313 - O1212 - О 44 - O55 - Обб-
6.4. Упругие постоянные и упругий модуль
127
При записи (6.31) введены также, согласно правилу (6.21), сокращенные
(матричные) обозначения упругих постоянных.
Используя (6.31), плотность упругой энергии кубического кристалла можно
представить так:
W = -CijklGijCkl = - (Сцц (е11 + е22 + езз) +
+ 2С'ц22(епе22 + ецезз + ез3е22) + 4Сгз2з(е23 + е13 +
(6.32)
С учетом сказанного, закон Гука (6.19) для кубических кристаллов удобно
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed