Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
деформаций, имеющий 6 независимых компонент.
Подсчитаем относительное изменение элементарного объема в окрестности
точки г при деформации. Используя (6.1), можно записать:
Принимая, что |5rj| = |5i*2| = |5гз| = 1, получаем, что после деформации
единичный куб SV = 1 с ребрами 5rj, 8x2, 5гз, будет
(6.12)
(6.13)
(6.14)
иг(г + 8г) = щ(г) + -g^-^xk = щ{г) + егк8хк
к
(6.15)
либо в векторной форме:
8 г' = 8^ + егк8гк,
^ = (1 + en)5ri + e128r2 + ei35r3, 8y'2 = ex28r\ + (1 + е22)8г2 + е235г3,
5гд = ei35ri + е238r2 + (1 + е33)5г3
(6.16)
122
Гл. 6. Упругие свойства кристаллов
иметь объем
5V' = ^[^2,^3] =
1 + еп 612 ei3
612 1 + е22 егз 8V рй
613 623 1 + езз
~ (1 + en + е22 + e33)5V. (6.17)
При записи (6.17) были опущены все члены, кроме линейных. Тогда
относительное изменение объема (объемное расширение) можно представить
так:
SV -SV ,
д= -----^7----~ е11 + е23 + е33, (6.18)
т.е. как сумму диагональных компонент тензора деформации. При
всестороннем сжатии объемное расширение считают отрицательным.
6.2. Механические напряжения
При деформации кристалла возникают силы упругости, стремящиеся
восстановить начальную конфигурацию. В результате твердом теле появляются
механические напряжения, которые определяют как силы, действующие на
единичные площадки внутри кристалла. В твердых телах возможны как
нормальные (сила действует перпендикулярно на единичную площадку), так и
сдвиговые, или тангенциальные, напряжения (действующая сила лежит в
плоскости единичной площадки). Для анизотропного твердого тела следует
различать 9 компонент тензора напряжений 0{,г На рис. 6.5 показан
элементарный объем в виде куба с гранями единичной площади и компонентами
напряжений. Приняты обозначения: первый индекс соответствует координатной
оси, вдоль которой направлена сила, второй индекс - оси, задающей
ориентацию единичной площадки, к которой приложена сила. Например,
величина <7ц обозначает компоненту силы, действующую вдоль оси Х\ на
единичную площадку, перпендикулярную этой оси, величина а\ч - компоненту
силы,
Рис. 6.5. Компоненты напряжений в твердом теле
6.3. Закон Гука и упругие постоянные кристаллов
123
действующую вдоль оси Х\ на единичную площадку, перпендикулярную к оси Х2
и т.п. Компоненты <7ц, сг22, 033 являются нормальными напряжениями, <712,
021, одз, (J31, (J23, 032 - сдвиговыми (тангенциальными) напряжениями.
Покажем, что тензор напряжений симметричен. Для этого достаточно
рассмотреть проекцию элементарного объема, находящегося в равновесии
внутри однородного твердого тела, на плоскость XY (рис. 6.6).
Если предположить, например, что <712 > <721, то, очевидно, возникает
вращающий механический момент, стремящийся повернуть элементарный объем
по часовой стрелке. Однако элемен-
Рис. 6.6. К доказательству симметричности тензора напряжений
тарный объем внутри напряженного твердого тела должен оставаться в
равновесии. Следовательно, необходимо, чтобы выполнялись условия (7i2 =
(721, 013 = CT31, (723 = 032) или, в общем случае, Gij = Gji.
Следовательно, в общем случае тензор напряжений имеет 6 независимых
компонент.
6.3. Закон Гука и упругие постоянные кристаллов
Будем предполагать, что закон Гука справедлив для любого элементарного
объема однородного твердого тела, т.е. что напряжения всюду
пропорциональны деформациям. Согласно закону Гука, каждая компонента
напряжений линейно связана с каждой компонентой деформации. Эти
соотношения в явном виде образуют систему линейных уравнений с 81
коэффициентами, которые называются постоянными упругой жесткости, или
модулями упругости:
124
Гл. 6. Упругие свойства кристаллов
СЦ = С 1111е11 + Си 22е22 + Сиззвзз + Сц23е23 + Ciii3ei3 + С
1112е 12,
(т22 = Сггцби + Сг222е22 + Сз233е33 + Сг223е23 + С2213е13 +
С2212е12;
О'зз = Сззивц + Сзз22е22 + С3333е33 + С3323е23 + C33i3ei3 +
C33i2ei2,
о'гз = Сгзцеи + Сзъ22е22 + Сгзззезз + Сгз23е23 + Сгз1зе13 +
C23i2ei2,
оЗз = Схзивц + С1322е22 + Схзззвзз + Схзгзегз + Ci3i3ei3 +
61312612,
ОЗг = Ci21ien + С1222е22 + 6д233е33 + Cl223e23 + Ci213e13 +
Ci212e12-
(6.19)
Ясно, что в силу симметрии тензоров деформаций и напряже-ний, равны между
собой компоненты вида C'ijki = Cijik = Cjiki = = Cj ilk, благодари чему в
(6.19) остаетсн 36 независимых компонент C'ijki¦ В свернутом виде система
уравнений (6.19) может быть компактно записана, если применить правило
суммировании Эйнштейна по дважды повторнющемусн индексу:
Далее, также как и в (6.20), по дважды повторнющемусн индексу
подразумеваете суммирование. Коэффициенты C'ijki в (6.20) образуют тензор
4 ранга. Размерность величин [С] = [Н/м2] = [Па]. Важнейшим следствием
соотношений (6.19) и (6.20) нвлнетсн то, что напрнженин и деформации не
обнзательно совпадают по направлению, причем нормальные деформации могут
вызывать сдвиговые напрнженин, и наоборот.
В силу симметрии тензоров деформации и напрнжений нсно, что можно
использовать более экономную форму записи, если при-ннть соглашение, что
