Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зиненко В.И. -> "Основы физики твердого тела." -> 40

Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.

Зиненко В.И., Зиненко В.И., Сорокин Б.П., Турчин П.П. Основы физики твердого тела. — Физматлит, 2001. — 331 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovifiziktverdogotela2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 110 >> Следующая

6.1. Малые деформации упругой сплошной среды
При деформации упругой сплошной среды, как изотропной, так и
анизотропной, ее частицы смещаются из своих первоначальных положений.
Пусть частица, находившаяся до деформации в точке, определяемой радиусом-
вектором г с координатами жг- (i = 1, 2, 3), после деформации оказывается
в положении г' с координатами х'-. Введем вектор смещения:
U = г' - Г, Щ = х\ - Xi, (6-1)
задающий абсолютную деформацию среды. Очевидно, что задание во всем
объеме твердого тела векторного поля u(r) полностью определит
деформированное состояние. Однако удобнее использовать относительные
величины, также характеризующие деформированное состояние и определенным
образом связанные с (6.1). Условимся, что все деформации твердого тела
рассматриваются в пределах выполнения закона Гука: в упругом твердом теле
де-
118
Гл. 6. Упругие свойства кристаллов
формация прямо пропорциональна напряжению. Считаем также, что
деформационные циклы обратимы. Для того, чтобы представить себе
деформацию упругой среды, рассмотрим частицу вместе с некоторой
бесконечно малой окрестностью. Тогда можно разложить деформацию на три
движения:
1) поступательное движение частицы вместе с окрестностью из точки г в
точку г';
2) поворот окрестности как целого твердого тела вокруг некоторой оси,
проходящей через частицу (точку г');
3) собственно деформацию, т.е. такое перемещение одних частиц окрестности
относительно других, при котором изменяются расстояния между частицами.
Поступательное перемещение частицы вместе с окрестностью определяется
вектором u(r). Остальные два перемещения задаются производными вектора
смещения по координатам.
Пусть внутри недеформированного твердого тела задана ортогональная
ортонормированная система координат, определяемая
тройкой единичных векторов i, j, к (рис. 6.1). Предположим, что в
результате малой однородной деформации, при которой все элементарные
объемы кристалла деформируются одинаково, данная тройка векторов изменила
свою ориентацию, и длина каждого из векторов также изменилась, в
результате чего образовалась новая тройка векторов Н, j', к', в общем
случае не ортогональных и не единичных.
Рассмотрим простейший случай равномерного изменения размера
кристаллического образца вдоль оси Х(Х\) (рис. 6.2). Вектор смещения
точки вдоль этой оси будет пропорционален радиусу-вектору г, длина
которого в данном случае равна х. Тогда можно записать:
Рис. 6.1. Координатные оси для описания упругой деформации
U1
А/
Т'
(6.2)
где /, А/ - абсолютное значение и относительное изменение размера образца
вдоль оси X. Соотношение (6.2) можно переписать так:
иг = ет
щ = ец:
(6.3)
6.1. Малые деформации упругой сплошной среды
119
Для произвольных бесконечно малых приращений коэффициент
пропорциональности в (6.3) будет равен
dux дщ
е" = дг = arc (6'4)
Эта величина определяет относительное растяжение образца
Pf 1 До деформации
1 1
/ Д/
и После
г+*р 1 деформации
llx
Рис. 6.2. Однородная деформация растяжения
вдоль оси х. Соответствующие относительные растяжения образца вдоль осей
у я z могут быть записаны в виде
ди2 ди3
ег' - ду еза - W (6'5)
Для описания сдвиговых деформаций выделим внутри образца малый
(элементарный) объем, который в результате воздействия изменяется так,
что меняются углы между его ребрами (рис. 6.3).
До деформации
После деформации
Рис. 6.3. Однородная деформация сдвига
При такой деформации кубик может превратиться в параллелепипед. Проекции
вектора смещения на оси ж и у можно выразить
120
Гл. 6. Упругие свойства кристаллов
или, при малых углах деформации
в в . ,
U\ = -у, И2 = -X. (6.7)
Таким образом, деформацию сдвигового типа можно описать с помощью
соотношений вида
Mi = е12у, и2 = е21х, (6.8)
где
в . .
е12 = е21 = (6.9)
Используя (6.9), эти величины, аналогично (6.5), можно представить так:
дщ дщ ди2 ди2
"2 = "7 = е2'= аГ = л7' (6'10)
Предположим, однако, что смещения (6.7) имеют несколько иной вид:
в в .
Щ = -у, и2 = --х. (6.11)
Хотя соотношения (6.11) напоминают (6.7), при таком перемещении
элементарный объем претерпевает простой поворот на угол в/2 (рис. 6.4).
При этом относительное положение атомов вещества не меняется. Нужно
исключить чистое вращение из определения дефор-
До приложения силы После приложения силы
Рис. 6.4. Однородный поворот. Деформаций нет
мации сдвига. Указанием может служить то, что, если ди\/ду и ди2/дх равны
по величине и противоположны по знаку, никакой
6.1. Малые деформации упругой сплошной среды
121
деформации нет. Этому условию можно удовлетворить с помощью определения
Для других сдвиговых деформаций, аналогично (6.12), можем записать:
В общем случае, когда присутствуют оба типа деформации, можно представить
и величины (6.4)-(6.5), и величины (6.12)-
(6.13) одним соотношением
где индексы i, j пробегают значения от 1 до 3, х\ = х, Х2 = у, х3 = z.
Определение (6.14) представляет симметричный тензор бесконечно малых
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed