Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зиненко В.И. -> "Основы физики твердого тела." -> 36

Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.

Зиненко В.И., Зиненко В.И., Сорокин Б.П., Турчин П.П. Основы физики твердого тела. — Физматлит, 2001. — 331 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovifiziktverdogotela2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 110 >> Следующая

(5.26) и функцией плотности мод (5.37) в предположении одинаковой
скорости фононов для каждой из трех акустических ветвей, можем записать:
huj \ V oj2
ехр (hcj/(kBT)) - 1J 2тг2 к3
о \ /
Введем обозначения:
huj huj-n 0
(5.41)
кт' кт т1
где в - температура Дебая - важный параметр в физике твердого тела,
который, пользуясь соотношением (5.38), можно определить так:
/Фзв з 6л2N /ггцв. 9 .i/o
-- = --(6тг2га)1/3. (5.42)
V fen
5.1. Теплоемкость кристаллической решетки
105
Тогда выражение для полной колебательной энергии (5.40), учитывая
суммирование по трем акустическим ветвям, принимает вид
шт>
и =
иг
mv
2tt2v3b J ехр (Hu/(kBT)) - 1
du =
3V{kBT) 2д2v3h3
4 f x3dx
ex - 1
= 9 NkBT I ?
x3dx ex - 1'
(5.43)
о о
где N - число атомов в образце.
Чтобы получить теплоемкость, необходимо продифференцировать первый из
интегралов в (5.43) по температуре:
C^D
с _ fdU\ _ 3/rV j" иЧехр (Hu/(kBT))
9Т J v 2n2v3BkBT2 J (eXp /(kBT)) - l)
= 9NkB ( -
XD
x4exdx (ex - l)2
(5.44)
Значения интеграла в (5.44) протабулированы. Типичное температурное
поведение теплоемкости показано на рис. 5.2.
При очень низких температурах приближенное значение энергии в (5.43)
можно получить, устремив верхний предел интеграла
Су, Дж/(моль-К)
Рис. 5.2. Температурная зависимость теплоемкости кристаллов согласно
теории Дебая
в бесконечность (при xD 1 х3/(ех - 1) получаем:
с3е~х
х dx ех - 1
3!ЕГ1 = ЗД4).
к=1
к4
0). Тогда (5.45)
106
Гл. 5. Тепловые свойства кристаллов
Для записи (5.45) использовано представление
/№А Д 1
7зт = га!Е^+г = га!^га+1)' (5-46)
о fc=1
где С(га+ 1) - дзета-функция Римана. Так, ф(4) = 7г4/90. Тогда интеграл
(5.45) равен 7г4/15. Подставляя это значение в (5.43), получим выражение
для энергии:
Г"0, (5.47)
и для теплоемкости в низкотемпературном пределе:
СУ " (|) и 234ЛГА:в^ . (5.48)
Это - закон Т3 Дебая. Он хорошо выполняется при низких температурах,
поскольку именно в этой области возбуждаются только низкоэнергетичные
(длинноволновые) акустические фононы.
При Т /$> в воспользуемся приближенным разложением в ряд:
в/т в/т
Г x3dx f x3dx 1 / в \
(5.49)
J ех - 1 J (1 + ж + ...)- 1 3 \Т
о о
Подставляя результат (5.49) в (5.44) и принимая, что N = NA, для
теплоемкости в высокотемпературном пределе получим:
Cv = 3 NAkB, (5.50)
что, как и в теории Эйнштейна, соответствует закону Дюлонга и Пти.
Согласно рис. 5.2, область, в которой осуществляется закон Г3, лежит ниже
0,10. Высокотемпературное асимптотическое значение теплоемкости
составляет 24,94Дж/(моль • К). Отметим, что температура Дебая в условно
разделяет "квантово-механическую" и "классическую" области температурной
зависимости физических свойств твердых тел. В первой из них в результате
температурного возбуждения происходит изменение числа фононов, во второй
- все фононы возбуждены. Это представление вполне справедливо для
кристаллов с одним атомом в базисе, где могут возбуждаться только
акустические фононы. Однако кристаллы, содержащие два и более атома в
базисе, дополнительно обладают оптическими модами. Поэтому для них при
температурах выше в продолжает происходить возбуждение фононов, теперь
уже оптического типа.
5.1. Теплоемкость кристаллической решетки
107
Из соотношения (5.42) для температуры Дебая в следует, что последняя
пропорциональна скорости звука и корню кубическому из плотности. В свою
очередь, скорость звука обратно пропорциональна корню квадратному из
плотности кристалла, поэтому она будет особенно велика у кристаллов,
построенных из легких атомов. Например, скорость продольной волны в
алмазе имеет рекордно высокое значение 1700 м/с. Соответственно, у таких
кристаллов и температура Дебая должна быть особенно высокой. В табл. 5.1
приводятся значения температуры Дебая в для некоторых кристаллов.
Таблица 5.1. Температура Дебая в для некоторых кристаллов*
Кристалл в, К Кристалл в, К Кристалл в, К
Li 344 Fe 477 NaCl 275
Be 1481 Си 347 КС1 230
Алмаз 2250 Ag 227 А1203 1042
Na 156 I 109 CaF2 475
AI 433 Pb 105 FeS2 645
'Данные взяты из книги: Бабичев А.П., Бабушкина Б[.А.,
Братковский А.М. и др. Физические величины. Справочник /Под ред. И. С.
Григорьева, Е. 3. Мейлихова. - М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

Из табл. 5.1 видно, что для кристаллов, у которых в < Ткомн, температуры
больше комнатной являются сравнительно высокими. Поэтому для них
отклонения от классических законов в этой области не слишком велики
(большая часть или все фононы возбуждены). Однако при температурах
порядка 100 К и ниже для всех этих кристаллов отклонение от закона
Дюлонга-Пти становится очень заметным. Иначе обстоит дело для кристаллов
с высокой характеристической температурой, особенно в случае алмаза. Для
последнего комнатная температура является низкой, и ни о какой
применимости классических законов не может быть и речи. Теплоемкость
алмаза уже при комнатных температурах следует закону Т3.
Следует отметить, что экспериментальные значения теплоемкости как
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed