Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
колебаниях надо задать граничные условия. Поскольку кристалл состоит из
очень большого числа атомов, учесть отдельно колебание каждого атома не
представляется возможным, и необходимо ограничиться определенными
приближениями. Поэтому рассмотрим трехмерный случай, когда кристалл
представляет собой куб со стороной L, содержащий N элементарных ячеек.
Тогда \/N = М - число атомов в атомном ряду, поэтому L = Md, где d -
межатомное расстояние. Потребуем, чтобы решения для смещений были
периодическими на больших, но конечных расстояниях в кристалле, так,
чтобы выполнялось:
u(x) = u(x + L),
u{y) = u{y + L), (5.28)
u(z) = u(z + L).
Этот подход известен под названием периодических (циклических) граничных
условий Борна-Кармана. В одно- или двумерном случаях они выполняются
автоматически, если "кристалл", представляющий собой линейную цепочку
(плоскость), свернут в кольцо (образует цилиндрическую поверхность). Для
трехмерного случая геометрической интерпретации, конечно, не существует.
Считая, как и в гл. 4, что упругие смещения имеют вид плоских волн
(4.19), условия (5.28) можно привести к виду
ехр (i(Kxx + Куу + Kzz)) =
- ехР {i{R-x(x + L) + Бу(у + L) + Kz(z + L)) }. (5.29)
102
Гл. 5. Тепловые свойства кристаллов
Данное соотношение удовлетворяется, если:
ехр (iKxL) = 1,
exp(iKyL) = l, (5.30)
ехр (iKzL) = 1,
следовательно, значения волновых векторов должны подчиняться условиям:
(5.31)
Из (5.31) следуют два важных результата: компоненты волнового вектора
фонона дискретны в обратном пространстве с шагом 27т/L, и их максимальные
значения выбираются из условий на границе зоны Бриллюэна:
j^max _ _ ±^Д_П -j, n - A - Д-max _ ± .
х ~ d ~ L х х ~ 2d ~ 2 L'
tfma* _ _ ±^п -L-М- Ктах _
ls-y - -1- 7 - -1- г 'imax -^ 'imax - 0 7 - ^ ч ^у - -1-
, 2тг Й7Г 2тг
/V,. = 0; i -; ± -; .. •; ±-
' L ' L ' ' L
, 27Г , Аж , 27Г
Ку = 0: i -: i-; • • • j i -
у ' L ' L ' ' L
, 27Г , Аж 2тг
Kz = 0; i--; i--; .. •; ±-r'
' L ' L ' ' L
d L 2d 2 y L
7г 27Г L M тгМ
Кmax Г- Г v v - - - К max-L_
- й - L x x ~ 2d ~ 2 _ L '
(2ramax)3 = IV. (5.32)
Следовательно, всего число независимых значений каждой из компонент
волновых векторов равно в точности числу атомов М в данном атомном ряду.
Для всех компонент волновых векторов число разрешенных независимых
значений будет составлять величину М3 = N, т. е. равно числу элементарных
ячеек. Тогда на объем (2тт/L)3 в /V-пространстве приходится одно
разрешенное значение вектора К. Напротив, число разрешенных значений К в
/V-пространстве (для каждой фононной ветви), будет составлять величину
5.1. Теплоемкость кристаллической решетки
103
где V = L3 - объем кристалла. Следовательно, весь объем зоны Бриллюэна
можно представить себе состоящим из малых объемов (2тг/Ь)3, в каждом из
которых содержится одно разрешенное состояние волнового вектора фонона К,
и число таких малых объемов, и, следовательно, число дискретных
разрешенных значений К будет в точности равно числу элементарных ячеек в
кристалле объемом V. Увеличение размеров кристалла просто увеличивает
плотность состояний в зоне Бриллюэна. Конечно, условия Борна-Кармана
реально неосуществимы. Однако это не представляет особых затруднений - до
тех пор, пока не изучаются поверхностные эффекты.
Изменение волновых векторов в обратном пространстве ограничим пределами
сферы с радиусом Ктах. Число собственных колебаний в интервале волновых
векторов от К до К + dK определяется объемом сферического слоя в /^'-
пространстве Атт К2 dK и составляет
, ч т о V dK , VK2dK ,
q(u)du=q(K) --du = AirK -5- --du = ------------^---du. (5.34)
yv ' yv ' du 8тг3 du 2тг2 du v 7
В континуальном приближении выполняется
и = v3BK, (5.35)
где v3B - скорость звука. Тогда полное число мод в К'-пространст-ве
(5.33) можно рассчитать так (для одного типа поляризации):
(4тг/3)/С3ах fL\3AKu^x V АТ орх
(27г/L)3 \27г/ 3 v3B бтг2 v3B
Пользуясь определением (5.34) и (5.35), определим функцию плотности мод
(для каждого типа поляризации):
= (5.37)
Если в образце N элементарных ячеек, то, как показано выше, число мод
также равно N, и из (5.36) можно определить максимальную частоту фононов
в приближении Дебая:
о о 6tt2v3N 9 о . .
Чпах = = у--- = б7Г V3Bn, (5-38)
где n = N/V - концентрация атомов. Соотношением (5.38) задана частота
обрезания спектра фононов в теории Дебая. Для модуля волнового вектора
максимальной длины KD, соответствующего частоте ив, из (5.27) получим:
<^п з/б7Г 2N
KD = - = \l--- = \/ 67Г 2п. (5.39)
104
Гл. 5. Тепловые свойства кристаллов
Функция плотности мод в дебаевском приближении и ее качественный
"истинный" вид показаны на рис. 5.1. Если принять,
Рис. 5.1. Плотность мод д(со) для моноатомной кубической решетки (одна
фо-нонная акустическая ветвь)
что среднее значение скорости звука есть кзв = 5 • 103м/с, и концентрация
атомов имеет значение п = 1029 м_3, то из (5.38) и
(5.39) следует:
UJt¦
1014 рад/с, 1Td^2-108cm 1 = 2-101Ом 4.
Пользуясь выражением для полной колебательной энергии
