Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
СЮ Л / °° \
(5.13)
/ (1 - ж)2
Чга=0 / v >
Тогда соотношение (5.11) можно переписать в виде
. hujx . , ^ huj .
( ^ = i-т = ^ = (и КЬ т\\-Г' ^5-14^
I - х ехр (nu)/(kBl)) - 1
где (п) - среднее число фононов с частотой ш в состоянии теплового
равновесия при данной температуре Т:
(п) = ~Г~! = п(w> Г) = (и ни т]\-------------7' (5'15)
I - х ехр (nu)/(kBl)) - 1
Соотношение (5.14) представляет собой распределение Планка. Величины (п)
называют также числами заполнения данной моды. Если в кристалле
содержится N атомов, и каждый обладает тремя степенями свободы, то
внутреннюю энергию кристалла можно представить в виде
U = SN(E) = SN(n)t*}. (5.16)
5.1. Теплоемкость кристаллической решетки
99
Для упрощения расчета Эйнштейн предположил, что все 3N мод имеют
одинаковую частоту колебаний шЕ, которая представляет собой эмпирический
параметр, выбираемый в соответствии с экспериментальными данными по
теплоемкости твердых тел. Тогда соотношение (5.16) преобразуется так:
и=- 3A^e -• (5-17)
ехр (НшЕ/(квТ)) - 1 Тогда, используя (5.2), вычислим теплоемкость:
Су = 3NkBFE (ше, Т), (5.18)
где введено обозначение FE - функция Эйнштейна:
F,(ai!r) = M^(5.19)
(ехр (НшЕ/(kBF)) - 1)
Рассмотрим предельные значения этой функции.
1. Случай высоких температур. При kBT hujE можно использовать разложение
в ряд:
ехр (НшЕ/(квТ)) рз 1 + НшЕ/(квТ), (5.20)
благодаря чему выполняется:
Fe^ei Т)\т-*оо -•> 1- (5.21)
Подставляя (5.21) в (5.18), получим соотношение (5.8) - закон Дюлонга и
Пти.
2. Случай низких температур. При температурах значительно ниже
характеристической температуры Эйнштейна ТЕ = = HojE/kB значение
экспоненты велико, и в знаменателе (5.19) единицей можно пренебречь.
Тогда функция Эйнштейна принимает вид
FE(uE,T) я ехр (дт)- (5.22)
Вклад экспоненты в уменьшение функции Эйнштейна
^е(^Е) Т) |х-"-о 0 (5.23)
является преобладающим, благодаря чему выполняется
Су(Т)\т-ю -т 0, (5.24)
что качественно соответствует экспериментально наблюдаемой зависимости.
100
Гл. 5. Тепловые свойства кристаллов
Модель Эйнштейна нереалистична, поскольку фононы в кристалле могут иметь
различные энергетические состоннин и, соответственно, различные частоты.
Интересно, однако, отметить близкое совпадение расчетных результатов по
теории Эйнштейна с экспериментальным значением по теплоемкости алмаза при
не слишком низких температурах. Дело в том, что в алмазе, обладающем
элементарной ячейкой с двумя атомами в базисе, помимо акустических,
существуют ветви высокочастотных и высокоэнер-гетичных оптических
фононов, которые возбуждаются при высоких температурах. Их частоты слабо
зависят от длины волны, и некоторое значение подобранной частоты oje
оказывается близким к реальной фононной частоте. Следовательно, модель
теплоемкости Эйнштейна условно применима в этом случае. Для кристаллов с
одним атомом в элементарной ячейке модель Эйнштейна дает только
качественное согласие. Однако для развития физики модель Эйнштейна имела
огромное значение, поскольку квантовая теория доказала свою
состоятельность там, где были бессильны классические представления.
5.1.3. Модель Дебая. Значительно лучшее согласие с опытом дает теория
П. Дебая (1912 г.). В ней, как и в теории Эйнштейна, предполагается, что
N атомов кристалла должны иметь 3N колебательных мод, фононы подчиняются
распределению Планка (5.15) и их средняя энергия может быть представлена
соотношением (5.14). Важные дополнения к теории Эйнштейна состоят в том,
что Дебай предположил:
- существуют зависимости частот упругих колебаний от волнового вектора ш
= ^(К);
- частоты колебаний решетки ограничиваются максимальной частотой wmax,
так что выполняется соотношение
где 3N - полное число частот колебаний.
В (5.25) введена функция д(ш) - плотность состояний, т.е. число частот в
интервале от ш до oj + doj. Этой функцией задается спектральное
распределение числа колебательных состояний (числа мод) в кристалле.
Тогда полная колебательная энергия будет иметь вид
(5.25)
о
U = 3N
I
п(ш, Т) hu>g{u>) du = 3N
I
т гг гг duj.
exp {huj/ (&BT)) - 1
hujg(uj)
о
о
(5.26)
5.1. Теплоемкость кристаллической решетки
101
Истинная плотность состояний различна в том или ином кристалле, и
представить ее точно в явном виде очень сложно.
Поэтому в модели Дебая приняты два упрощающих предположения.
1. Учитываются только акустические типы колебаний. В наиболее простом
варианте считается, что скорость звука для всех акустических волн
одинакова, и выбирается простейший закон дисперсии в континуальном
приближении:
ЦК) = v3BK. (5.27)
2. Реальная зона Бриллюэна, в пределах которой находятся разрешенные
значения волнового вектора К, заменяется сферой того же объема в обратном
пространстве с радиусом, равным волновому вектору максимальной длины -
дебаевскому волновому вектору KD.
Необходимо выяснить, как дискретность кристаллического пространства может
повлиять на набор волновых векторов К. При решении любой задачи о
