Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
85
Условием существования ненулевого решения системы уравнений является
равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов:
где Safj, bvv< - символы Кронекера.
Формула (4.44) представляет собой уравнение 3//-Й степени относительно ш2
и для каждого значения вектора К имеет Зг/ ре-
Формулы (4.43), (4.44) применимы для вычисления спектра колебаний в
кристалле любого состава и любой симметрии, если известны значения
элементов матрицы силовых постоянных. Однако общий вид законов дисперсии
ws(K) для некоторых простых случаев можно установить и без детальных
вычислений фононного спектра. Рассмотрим кристалл с одним атомом в
элементарной ячейке (г/ = 1). В этом случае уравнение (4.44) - кубическое
и, следовательно, имеет три решения, соответствующие ветвям колебаний s =
1, 2, 3.
В длинноволновом пределе К = 0, и система (4.43) принимает
вид
и, так как вектор Q не может тождественно быть равным нулю, получим:
поскольку ш8(К) - четная функция волнового вектора при К -> 0.
Динамическая матрица Ф(К) есть четная функция К:
(4.44)
шений. Динамическая матрица Da^,(К) является эрмитовой. Из свойства
(4.16) матрицы силовых постоянных следует:
(4.46)
Из формулы (4.45) следует, что
D"f (0) = 0
(4.47)
^(0) = 0,
(4.48)
86
Гл. 4. Колебания кристаллической решетки
Следовательно, ws(K) тоже четная функция К, поэтому при К -> О ^2(к)
является квадратичной функцией К:
и>2(К) = v^(s)KnI<
L/3'
(4.50)
Z"
"jf7 2
11
10
Величины vap зависят в общем случае от направления вектора К и, в
частности, для кубического кристалла одна из них является скоростью звука
продольных упругих волн, а две другие при s = 2 и s = 3 описывают
поперечные волны.
Проиллюстрируем теперь дисперсионную зависимость частот колебаний от
волнового вектора для нескольких симметричных направлений по всей зоне
Бриллюэна. Рассмотрим одноатомный кристалл с гранецентрирован-ной
кубической решеткой и ограничимся только короткодействующими
взаимодействиями между ближайшими соседями (рис. 4.7). Такая модель может
быть применена к описанию динамики решетки кристаллов инертных газов и
металлов, если для последних принять достаточно грубое приближение, что
из-за экранирования электронным газом ионы взаимодействуют только на
ближайших расстояниях. Динамическая матрица в этом слу-
4
8
12
Рис. 4.7. Нумерация атомов для ГЦК решетки
чае имеет вид
К) = -2^Ф аР{
пп sin
Krr
(4.51)
где пп означает сумму по 12 ближайшим соседям в ГЦК решетке. Элементы
матрицы силовых постоянныхФа/з(гага) есть вторые производные от
потенциальной энергии по смещениям атомов из положения равновесия и, в
силу кубической симметрии, в этой матрице есть только три независимые
величины, которые в нашем случае являются подгоночными параметрами:
д2Ф д2Ф
= ... = ", (4.52)
дХ9дХ'
дХ°дХ1
д2Ф
дХ°дХ}
д2Ф
дх°дх.
(4.53)
д2Ф
дХ°дХ1
(4.54)
Тогда матрицы силовых констант взаимодействия узла решетки под номером 0
с ближайшими соседями будут иметь вид:
4.4. Нормальные координаты и динамическая матрица
87
а /3 0
/з а 0
0 0 7
7 0 0
0 а /3
0 /3 а
( а 0
0 7
V /3 0
Подставим эти величины в (4.51) и просуммируем по ближайшим соседям.
Получим:
ДМК) = 47 (sin2 ISl±!ila + sin2 +
+ 4a (si"2 *" + *", + Si"2 A* ~ A"" +
4 4
9 /4,. + /\7 9 Kx - Kz \
+ sm ------- a + sm aj, (4.55)
Dxy(K) = 4/3 ^sin2 -^--a + sin2 -----a'j , (4.56)
а элементы Dyy(K), Dzz(K), Dyz(JZ) и Dzx{К) получаются из (4.55), (4.56)
циклической перестановкой х -> у -т- z.
Из уравнения (4.44) получаем дисперсионные зависимости частот колебаний в
симметричных направлениях для одноатомной ГЦК решетки с взаимодействием
ближайших соседей
Для К || [100]: 16а . 9 Ка
и\ (К) = sm -- - продольная волна,
8(а + 7) . 2 Ка tjj2(44) = ------- s 4" - дважды вырожденная
поперечная волна (дисперсионные ветви для поперечных волн совпадают).
88
Гл. 4. Колебания кристаллической решетки
Для К || [110] :
"¦<K> = s
,ДК) = ш
OJ з(К) = - v ' М
/ \ о 31 П / о 31 П
8(си + 7) sm ---|- 4(а + /3) sin
продольная волна,
, . г, Ка . г, К а
8(си + 7) sm ---|- 4(а - /3) sm
. 2 Ка .2 Ка 16а sm 1-47 sin
поперечная волна,
поперечная волна.
Для К || [111] :
, , (8а + 8/3 + 47) . 2 Ка
он К = ------------------------------------sm -----
V ' М 2
,Tjr. (8а - 4/3 + 47) . 2 Ка
UJ2 К = -----------------------------------sm -----
v ' М 2
продольная волна,
дважды вырожденная поперечная волна.
Типичные дисперсионные кривые для моноатомной решетки показаны на рис.
4.8.
В кристаллах, элементарная ячейка которых содержит v > 1 атомов, также
всегда имеется три акустические ветви колебаний,
Q, ю13 с-1
К|| [100]
2л!аК 0
К|| [110]
л/а К К|| [111]
Рис. 4.8. Дисперсионные зависимости для трехмерного моноатомного
кристалла ГЦК меди. Точки - экспериментальные значения, линии -
результаты подгонки методом Борна-Кармана с тремя различающимися связями
с ближайшими соседями.
в которых в длинноволновом пределе К -> 0 все атомы ячейки движутся как
