Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
К.
(4.33)
82
Гл. 4. Колебания кристаллической решетки
Эта ветвь называется акустической ветвью колебаний. В длинноволновом
пределе при таком колебании смещается центр масс элементарной ячейки.
Действительно, из (4.26) при К -> 0, и -> О имеем Xq/Wq = 1. Это показано
на рис. 4.4.
Частота колебаний для другой ветви при К -у 0 стремится к конечному
значению:
u2(K = 0) = J^.
(4.34)
В длинноволновом пределе в этом колебании из (4.26) при К -> О Xq/Wq = -
М2/М\. Центры масс элементарных ячеек остаются
м.
О
м,
-О-
О
-о-*-
м.
о
м,
-о-
о
-о
Рис. 4.4. Смещение атомов двухатомной цепочки в акустическом колебании с
частотой ш\
Рис. 4.5. Смещение атомов в элементарной ячейке двухатомной цепочки в
оптическом колебании с частотой Ш2
на месте, и атомы, занимающие разные позиции в элементарной ячейке,
смещаются в противоположных направлениях (рис. 4.5). При К = ±7Г/а на
границе зоны Бриллюэна из (4.30) следует:
и 1 =
(4.35)
>2С _ 2С
Мз' Ш2~УМ/'
Первая из частот в (4.35) соответствует граничному значению частоты
колебаний акустического типа (центры масс в соседних ячейках движутся
навстречу друг другу, частота этого коле-
Рис. 4.6. Дисперсионная зависимость для двухатомной линейной цепочки
(первая зона Бриллюэна)
бания определяется большей массой). Вторая - частоте оптических колебаний
на границе зоны Бриллюэна (центры масс во
4.4. Нормальные координаты и динамическая матрица
83
всех ячейках остаются на месте, в одной ячейке атомы с разной массой
движутся навстречу друг другу, в соседней ячейке - друг от друга, частота
такого колебания определяется меньшей массой атома). Зависимость частот
колебаний акустической и оптической ветвей от волнового вектора,
изменяющегося в пределах первой зоны Бриллюэна, показана на рис. 4.6.
Если кристалл состоит из разноименно заряженных ионов, то при колебании
оптического типа возникает дипольный момент. Характерные частоты
длинноволновых колебаний для ионных кристаллов ~ 1012 - 1013с-1, и такие
колебания можно регистрировать в инфракрасном диапазоне электромагнитных
волн. Отсюда произошло название - оптическая ветвь колебаний решетки.
4.4. Нормальные координаты и динамическая матрица
Рассмотрим теперь общий случай колебаний решетки трехмерного кристалла.
Выражение (4.11) для функции Гамильтона представляет собой энергию
системы связанных гармонических осцилляторов с координатами Ха (*). Связь
обусловлена "перекрестными" слагаемыми с Ха(гг,)Х/з(^/) с а ф /3, v ф v'.
В результате происходит непрерывный обмен энергией между осцилляторами, и
зависимость от времени смещений ионов не имеет вида простого
гармонического колебания. Чтобы избавиться от этой трудности, вместо
Xa(^j введем другие переменные таким
образом, чтобы энергия, выраженная в этих новых переменных, не содержала
перекрестных членов (каноническая задача о приведении квадратичной формы
к диагональному виду). Новые переменные называются нормальными
координатами, в которых векторы смещений имеют вид:
х°(1) = ^Е^(к'5)^(к'5^)ехр(гК/)' (4-36)
K,s
где множитель L1/2 введен для удобной нормировки, комплексные числа
Q(JZ,s,t) - новые координаты, где s - номер ветви спектра, а векторы
поляризации нормальных колебаний ?(,(K,s) надлежит подобрать таким
образом, чтобы энергия (4.11) представляла собой сумму квадратов и не
содержала перекрестных членов.
Как и в случае одномерных кристаллов, квазиволновой вектор К изменяется в
пределах первой зоны Бриллюэна. Вещественность смещений ионов кристалла
из положений равновесия накладывает условие на координаты Q(K, s,t), а
именно,
C(K, s, t)Q(К, s, t) = С(-К, s)Q*(-К, s, t). (4.37)
84
Гл. 4. Колебания кристаллической решетки
Подставим (4.37) в гамильтониан (4.11): н = ^еЕЕЕ МХ"(К, s)C"a(K',
s')Q(K, s, t)Q{К', s', t) x
К,К' S,S> С
X ^ехр(г(К + К')/) + j) X
l K,K' s,s' г/,г/' 1,1' 4 У
X С(tm) (к, s)C^(K', s')Q(K, s, i)Q(K', s', t) exp (i(Kl + K'l')).
(4.38)
Используем свойство суммирования по узлам решетки экспоненты (см. задачу
4.5):
Е( ¦ t -г* ..л ( L, если К + К' = О, G, , .
ехр (г(К + А )/) = < (4.39)
^ v 7 ( 0 в противном случае.
где G - целый вектор обратной решетки. При выполнении суммирования во
втором слагаемом в (4.38) сделаем замену переменных суммирования
/-/' = /ь / + /' = 2/2. (4.40)
С учетом (4.39), (4.40) и переобозначая /2 = /, получим:
я = \ X X X (к' s)c"(-k, ю х
К s,s; ^
X Q(K, s, *)Q*(-K, + ?>"2(K)U(K, s) X
2 L
s,s' се' К
'P
где
x CV(-K, s')Q(К, s, t)Q*(-K, s', i), (4.41) DlXK) = ЕФ""(Д) ехр(гЛ-/).
(4.42)
(К) называется динамической матрицей. Из (4.41) видно, что в функции
Гамильтона слагаемые с различными К не перемешиваются.
Теперь определим g"(K,s) таким образом, чтобы обратились в нуль слагаемые
с s ф s'. Для выполнения этого условия векторы (po(K,s) должны
удовлетворять системе уравнений
y]<f,(K)Cra(K,s) = Ws2(K)MX^(K,S'), (4.43)
V
где (К) и есть частоты нормальных колебаний.
4.4. Нормальные координаты и динамическая матрица
