Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
совместиться друг с другом с помощью преобразований симметрии,
свойственных данной точечной группе, записывается в угловых скобках.
Например, совокупности ребер куба соответствует символ (100),
пространственных диагоналей куба - (Ш)> диагоналей грани куба - (НО).
Если некоторые из чисел то; отрицательны, знак "минус" пишут над ними,
например (111). Когда среди индексов Миллера встречаются числа, большие
9, индексы во избежание недоразумений отделяют друг от друга запятыми, но
практически с такими кристаллографическими направлениями приходится иметь
дело крайне редко.
Если элементарная ячейка не примитивна, то не каждый вектор, проведенный
из начала координат в узел решетки, имеет целочисленные компоненты, но
для любого кристаллографического направления можно найти вектор с
целочисленными компонентами. Например, координаты узла в центре
объемноцентриро-ванной кубической ячейки есть [[555]], но проведенный
через него ряд (пространственная диагональ куба) можно характеризовать
символом [111].
Любой набор параллельных кристаллографических плоскостей естественно
определять нормальным к ним вектором. Из множества параллельных
кристаллографических плоскостей выберем какую-либо плоскость,
пересекающую кристаллографические оси в узлах решетки, но не проходящую
через начало координат. Положение плоскости однозначно определяется
отрезками, отсекаемыми ею на осях координат (рис. 1.11). Пусть
кристаллографическая плоскость не параллельна ни одной из осей координат.
Тогда векторы
Р(1)=Р1аЪ Р(2)=Р2а2, Р(3)=Рзаз, (1-18)
соединяющие начало координат с точками пересечения плоскости с осями,
целочисленны. Векторы
П(1) = Р(1) - Р(з) и q(2) = Р(2) - Р(з) (1-19)
также целочисленны, они лежат в рассматриваемой кристаллографической
плоскости, а их векторное произведение перпенди-
30
Гл. 1. Структура и симметрия кристаллов
кулярно к ней. Запишем нормальный к плоскости вектор п как векторное
произведение, выбрав порядок сомножителей так, чтобы
Рис. 1.11. К определению индексов Миллера кристаллографических плоскостей
нормаль была внешней (направлена внутрь тройки координатных осей), и
нормируем этот вектор на объем элементарной ячейки:
п=^[ЧьЧ2]. (1-20)
Подставляя в (1.20) выражения (1.18) и (1.19), получим:
n = -[(piai - рза3), (р2а2 - р3а3)]. (1.21)
V
Раскрывая векторное произведение, запишем:
n= ^(pip2[ai,a2]+pip3[a3,ai]+р2рз[а2,а3]). (1.22)
Поскольку объем элементарной ячейки можно выразить так:
v = (ai[a2,a3]) = (a2[a3,ai]) = (a3[ai,a2]), (1.23)
то представим (1.22) в виде:
n = Р2Р3К + Р1Р3Щ + Р1Р2 b3 = raibj + п2Ц + ra3bg. (1.24)
Числа щ, п2, п3 - также целые и являются компонентами вектора нормали к
плоскости п, а соотношение (1.24) является разложением вектора п по
базису тройки векторов обратной решетки:
bi = -[а2,а3], b2=-[a3,ai], Ьз=-[аьа2], (1.25)
V V V
имеющих размерность [м-1].
1.6. Определение кристаллографических направлении
31
Таким образом, вектор нормали к кристаллографической плоскости (возможной
или действительной грани кристалла) во всех случаях можно выбрать так,
чтобы он имел целочисленные компоненты относительно базиса обратной
решетки (1.25). Компоненты этого вектора и есть индексы Миллера грани
(плоскости); они записываются в круглых скобках: (щщпз). Если они имеют
общий множитель, их надо на этот множитель разделить.
Индексы Миллера грани обратно пропорциональны компонентам векторов,
проведенных из начала координат в точки пересечения грани
с осями координат. Действительно, когда данная грань
пересекается со всеми тремя осями, из (1.24) следует, что
111 /
Щ : п2 : п3 = - : - : -. (1.26)
Pi Р2 Рз
Координатные плоскости характеризуются символами: YOZ - (100), ZOX -
(010), XOY - (001).
Доказывая целочисленность индексов Миллера для кристаллографических
плоскостей, мы исходили из представлений о кристаллической решетке. Между
тем, еще до появления рентгеноструктурного анализа и экспериментального
доказательства дискретности строения кристаллов, индицирование граней
основывалось на законе рациональности параметров (закон целочисленных
отношений), сформулированном Гаюи в 1781г. Этот закон устанавливает
закономерность расположения граней на кристаллических многогранниках и
объясняет, почему на кристаллах появляются именно те или иные грани.
Закон рациональности параметров гласит: двойные отношения отрезков,
отсекаемых на трех ребрах кристалла, выбранных в качестве осей координат,
а) любой гранью кристалла и б) некоей его гранью, принятой за единичную,
равны отношению малых целых чисел.
Выберем в кристаллическом многограннике три некомпланарные грани и примем
их за координатные плоскости, а ребра, по которым пересекаются эти грани,
- за оси координат. Выберем также еще одну единичную грань, не
параллельную ни одной из координатных плоскостей и отсекающую на осях
координат отрезки ОА, ОВ, ОС - параметры грани. Согласно закону
рациональности параметров для любой другой грани кристалла, отсекающей на
