Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
26
Гл. 1. Структура и симметрия кристаллов
Таблица 1.4. 14 пространственных решеток Бравэ
Решетка
примитивная базоцентри- объемноцен- гранецентри- ромбоэдри-
рованная трированная рованная ческая
Триклинная сингония
Моноклинная сингония
Ромбическая сингония
Тетрагональная сингония
Гексагональная сингония
Кубическая сингония
1.5. Пространственные группы симметрии
27
т.е. С-ячейка станет F-ячейкой. В тетрагональной сингонии нет ячейки С:
она была бы совместима с симметрией решетки, но не отвечала бы условиям
выбора ячейки Бравэ; вместо нее можно было бы взять примитивную ячейку,
объем которой вдвое меньше.
14 решетками Бравэ исчерпываются все возможные трансляционные решетки,
описывающие любые кристаллические структуры (табл. 1.4). В структуре
кристалла решетки Бравэ могут быть вставлены одна в другую, а в узлах
различных решеток могут стоять как одинаковые, так и различные атомы
(группы атомов).
1.5. Пространственные группы симметрии
Все возможные кристаллические структуры описываются 230 пространственными
группами симметрии. Пространственной группой симметрии называется
сочетание всех возможных бесконечных преобразований симметрии
кристаллической структуры. Пространственная группа симметрии
характеризует симметрию кристаллической структуры, так же, как точечная
группа симметрии характеризует симметрию внешней формы кристалла и
симметрию его макроскопических физических свойств.
Каждой точечной группе симметрии соответствует несколько пространственных
групп. Чтобы из пространственной группы симметрии кристалла получить его
точечную группу, надо мысленно уничтожить все трансляции, т.е. превратить
плоскости скользящего отражения в простые зеркальные плоскости, винтовые
оси - в обычные поворотные оси симметрии и свести все оставшиеся элементы
симметрии в точку.
Вывести из точечной симметрии все относящиеся к ней пространственные
группы симметрии - более сложная задача. Для этого нужно перебрать все
возможные сочетания элементов симметрии и решеток Бравэ. Например, если в
точечную группу входят оси 3 и 2, то для вывода пространственной группы
нужно перепробовать все возможные сочетания простых и винтовых осей 2-го
и
3-го порядков и трансляций.
230 пространственных (непрерывных) групп симметрии кристаллического
пространства (федоровских групп) были выведены в 1890-1894гг.
одновременно и независимо Е. С. Федоровым и А. Шенфлисом.
Международная символика пространственных групп симметрии составлена так,
что по виду символа можно полностью представить взаимное расположение
элементов симметрии (табл. 1.5).
Отсутствие элемента на соответствующей позиции обозначается цифрой 1.
Например, к точечной группе симметрии 32 принадлежат пространственные
группы: Р321, P3i21, Р3221, Р312, P3il2, Р3212.
28 Гл.1. Структура и симметрия кристаллов
Т аблица. 1.5. Правила записи символа пространственной группы
Сингония Позиции в символе
I II III IV
Т риклинная Тип решетки Бравэ Имеющийся элемент симметрии
Моноклинная Имеющийся элемент симметрии: ось 2 или 2i (и плоскость,
нормальная Е оси 2, если она есть)
Ромбическая Ось 2 (2i) или нормаль к параллельная: плоскости,
X Y Z
Тригоналъная Тетрагональная Гексагональная Главная ось симметрии
(и плоскость, нормальная к ней, если она есть) Координатная плоскость
или ось Диагональная плоскость или ось
Кубическая Ко ор динатные элементы симметрии 3 Диагональные
элементы симметрии
1.6. Определение кристаллографических направлений и плоскостей
Назовем кристаллографическим такое направление, которое проходит не менее
чем через два узла решетки. Кристаллографической плоскостью будем
называть плоскость, проходящую не менее чем через три узла решетки, не
лежащих на одной прямой. Можно, очевидно, представить себе и направления,
и плоскости, которые направлены иначе, однако их нельзя индицировать
аналогично кристаллографическим, о чем пойдет речь ниже.
Для каждого кристалла можно ввести кристаллографическую систему координат
XYZ, построенную на базисных векторах aj, а2, аз, совпадающих с ребрами
элементарной ячейки. Так как векторы aj, а2, аз некомпланарны, любой
вектор m можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов и
притом единственным образом:
m = mi aj + m2a2 + тзаз- (1-16)
Компоненты вектора m в нашем случае - целые числа. Пусть m определяет
некоторое кристаллографическое направление. Если целые числа mi, m2, m3
имеют общий множитель п, можно ввести
1.6. Определение кристаллографических направлении
29
в рассмотрение вектор того же направления, но в га раз короче:
. m mi m2 тз
m = - = aj a2 аз = raaj /"ci2 ^аз> ( )
гага га га
и его компоненты также будут целочисленны. Тогда коэффициенты /г, к и /,
записанные в виде \hkl~], будем называть индексами Миллера данного
кристаллографического направления, т.е. любой направленной прямой,
параллельной данному вектору. Символы координатных направлений запишутся
в виде: [100], [010], [001]. Совокупность направлений, которые могут
