Физика полупроводниковых приборов - Зи С.М.
Скачать (прямая ссылка):
и ЗС--магнитная индукция и напряженность магнитного
поля; to = 2nv - круговая частота излучения.
При этом предполагается, что зависимость излучения -от времени имеет вид
ехр(-/со/).
Для коэффициента преломления {уравнение (35)] решение уравнения Максвелла
представляет собой гибридные моды, характеризуемые порядками т, п и q.
Числа т и п показывают, что интенсивность каждой компоненты поперечного
поля -проходит через нулевое значение т в направлении х и через нулевое
значение п в направлении у. Число q, которое было определено в разд. 3(5)
для аксиальных мод, -определяет число полуволн, укладывающихся в объеме в
направлении z между зеркалами лазера. Предполагая, что т\\пх0,
иЯ/зтг/о'С1!, получаем упрощенное волновое уравнение из уравнения
где k=2зт/А,- постоянная распространения в свободном -пространстве; А, -
длина -волны в свободном пространстве.
При значении п, -взято-м из уравнения (35), полагая граничные условия
соответствующими исчезающему электромагнитному полю, при х и у,
стремящихся к бесконечности, получаем решение (методом разделения
переменных) уравнения (37) -в виде
Функция Нт{?) представляет собой полиномы Эрмита "-порядка, а функции
Хт{х) и Yn(y) являются функциями Эрмита - Гаусса. Знаки + при
соответствуют положительному и [отрицательному
направлению распространения волны.
Суперпозиция двух волн, распространяющихся в противоположных
направлениях, представленных уравнением (38), приводит к появлению
осцилляций в резонаторе. Из рассмотрения одной из <§ + мод следует, что
определение моды требует, чтобы
(36):
(37)
[у2 + (й?)2]<? = О,
^тщ У>^) - АтпцХт (X) Yп (у) ехр (i jkYmnS2), (68)
где АтИд - постоянная:
Кпд (Х,у,0) = ± ё+щ (X, у, L).
(42)
Из уравнения (38) вытекает, что приведенное выше требование
удовлетворяется, -когда
qn q\
YтпЯ.~ fcL 2L * ( )
где q - целое число.
Подставляя уравнение (43) в уравнение (41), получаем выражение для
резонансных частот лазерного резонатора
с / " 2т +1 ? 2n + 1 ^
Vmna== 4тШ0 [ То 1 Уо 1
c?_f, . г L /2т+\ , 2п+1 \уу/2 о у + l 2кд { Хв + То )\ I
2 Ln,
(44)
Наложение волн, распространяющихся в положительном и отрицательном
направлениях оси г, дает стоячую волну <§тпд(я, У, 2, t) в лазерном
резонаторе, которая определяется выражением
?тп! (X, У, Z, t) = 2AmnqXm (X) Yn (у) cos 2^ cos (2n\mnqt). (45)
Каждая резонансная .мода характеризуется распределением электрического
.поля, представленным уравнением ' (45), и соответствующей частотой
генерации vmng, представленной уравнением (44). Эти уравнения выражают
поле и частоту через порядок моды (т, п, q), длину лазера и фокусирующие
свойства среды х0, у0.
Расстояние между резонансными модами АХ может быть получено
дифференцированием уравнения (44). Для поперечных мод низшего порядка,
для которых
L Г 2т+ 1 . 2/г+ 1 \
<46>
получим:
ДХ I Г L L
ЬТГ- w[~^hLm + ~wTbn + b4\'
где L(ДХ/Х)? может определяться как нормализованная ширина полосы, а
(. X dn0 \
пе - По ащ )
- эквивалентный коэффициент преломления, который учитывает наличие
диспергирующей среды.
Подобное выражение было уже выведено в уравнении (26). При Am-An=Q
уравнение (47) представляет собой расстояние между аксиальными модами,
идентичное приведенному в уравнении (26):
ДХ X2
Aq 2n,L
(48)
Расстояние между резонансными длинами волн, для которых порядки мод
отличаются только в направлении х, перпендикулярном плоскости перехода,
получим, полагая An-Aq-О в чравнеиии (47):
й\
Ат
- X2 2ъпех0
(49)
Подобно этому вдоль плоскости перехода, когда Am~Aq=О,
АХ - X2 Ап ~~ 2лпеу0
(50)
Таким образом, для любых двух резонансных длин волн, характеризуемых
номерами мод (т, п, q) и (т, п, q+1), расстояние (АХ) q зависит от L. Для
мод (т, п, q) и (т, п+: 1, q) (АХ) п зависит от ус, являющегося мерой
фокусировки вдоль плоскости перехода. То же справедливо для мод (т, п, q)
и (т+1, п, q)
йгг>=0)йп--1,Ау-0
Ak=0J8A -*i
I В)
(m,n + t,q+2)Ai т \
Am='0,An=0,Aq--1
(гор
Диод 137-1 S= 13 м-км 1=380 Л1*ыч Г= 77 °К lt/>
I = /75 жа
А.
837* 8378 8375
8385 '~ 8382 3384
Длина Волны А, 71
8386 8388 8338
Рис. 17. Экспериментально полученная тонкая структура спектра, в котором
каждая аксиальная мода содержит регулярные сател-литные частоты [Л. 35].
Тонкая структура спектра 1[Л. 35] для GaAs лазера с р-ti переходом,
имеющего полосковую геометрию (рис. 9), представлена на рис. 17. Ширина
полосы равна 13 мкм, длина - 380 мкм. Лазер работает в непрерывном режиме
при температуре 77 СК при плотности тока, на 13% превышающей пороговое
значение. Спектр излучения лазера имеет многомодовый характер. Центр
спектра соответ-
О
ствует примерно длине волны Х=8 383А, и спектр состоит из нескольких
групп аксиальных мод. Каждая группа аксиальных мод состоит из некоторого
числа близко расположенных линий. Эти группы линий 'Называются'
"сателлитами". Расстояние между дан-
ной модой (от, п, q) в определенной группе мод и соответствующей модой
(¦от, п, 9+1) в соседней группе мод есть "расстояние между
